ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 197: Дополнительные задачи

План решения:

Для доказательства перпендикулярности прямой к плоскости необходимо показать, что эта прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости. В нашем случае нужно доказать, что CD⊥MBC. Для этого найдем две пересекающиеся прямые в плоскости MBC (это будут BM и BC) и покажем, что CD перпендикулярна каждой из них.

Ход доказательства:

1. По условию задачи отрезок BM перпендикулярен плоскости прямоугольника ABCD. По определению перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Так как сторона CD лежит в плоскости ABCD, то BM⊥CD .
2. Рассмотрим основание — прямоугольник ABCD. По свойствам прямоугольника смежные стороны взаимно перпендикулярны. Следовательно, сторона CD перпендикулярна стороне BC. То есть CD⊥BC .
3. Теперь у нас есть два факта: CD⊥BM и CD⊥BC. Прямые BM и BC лежат в одной плоскости MBC и пересекаются в точке B.
4. Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в другой плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Таким образом, прямая CD перпендикулярна плоскости MBC.

Проверка:

Логика построена верно: использовано определение перпендикулярности прямой и плоскости для первого условия (BM⊥ABCD⇒BM⊥CD) и свойство прямоугольника для второго (CD⊥BC). Наличие двух пересекающихся прямых в целевой плоскости, перпендикулярных доказываемой прямой, является достаточным условием для вывода о перпендикулярности прямой и плоскости. Доказательство завершено.