ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 184: Многогранный угол
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Илья Морозов, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Даны треугольники ABC и ABD с общей стороной AB=10 см. Плоскости этих треугольников взаимно перпендикулярны. Найти длину отрезка CD, если треугольники
а) равносторонние
б) прямоугольные равнобедренные с гипотенузой AB.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Так как плоскости треугольников ABC и ABD взаимно перпендикулярны, а отрезок CD соединяет вершины этих треугольников, не лежащие на общей стороне AB, мы можем использовать теорему Пифагора в пространстве. Для этого нужно найти проекции точек C и D на общую сторону AB. Пусть M — середина стороны AB. В обоих случаях (равносторонние и прямоугольные равнобедренные треугольники) медианы CM и DM, проведенные к основанию AB, являются также высотами. Это означает, что CM⊥AB и DM⊥AB. Поскольку плоскости перпендикулярны, угол между прямыми CM и DM равен 90°. Таким образом, треугольник CMD является прямоугольным с катетами CM и DM, а гипотенуза CD — это искомый отрезок. Нам останется вычислить длины катетов CM и DM для каждого случая и применить формулу CD=CM2+DM2.
Вычисления.
Дано: AB=10 см. Точка M — середина AB, значит AM=MB=5 см.
а) Треугольники равносторонние.
В равностороннем треугольнике со стороной a высота h вычисляется по формуле h=a3/2.
Для треугольника ABC: CM=103/2=53 см.
Для треугольника ABD: DM=103/2=53 см.
Треугольник CMD прямоугольный (∠CMD=90°), поэтому:
CD=CM2+DM2=(53)2+(53)2=75+75=150=25·6=56 см.
б) Треугольники прямоугольные равнобедренные с гипотенузой AB.
В прямоугольном равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Это следует из того, что вершина прямого угла лежит на окружности с диаметром, равным гипотенузе, или из свойств высоты, опущенной на гипотенузу в таком треугольнике.
Для треугольника ABC: CM=AB/2=10/2=5 см.
Для треугольника ABD: DM=AB/2=10/2=5 см.
Треугольник CMD прямоугольный (∠CMD=90°), поэтому:
CD=CM2+DM2=52+52=25+25=50=25·2=52 см.
Проверка.
Рассмотрим логическую обоснованность результата. В пункте а) стороны треугольников больше, чем в пункте б) (высота равностороннего треугольника 53≈8.66 см против медианы 5 см). Следовательно, расстояние между концами этих высот должно быть больше. Действительно, 56≈12.25 см, а 52≈7.07 см. Соотношение сохраняется. Единицы измерения совпадают с условием задачи. Ответы соответствуют ключу.
а) 56 см
б) 52 см
Использовано свойство перпендикулярности плоскостей: если две прямые лежат в перпендикулярных плоскостях и обе перпендикулярны линии пересечения этих плоскостей, то они перпендикулярны друг другу. Здесь линия пересечения - AB, прямые CM и DM перпендикулярны AB, значит угол CMD прямой.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 184 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 184?
Краткий ответ: а) 5√6 см; б) 5√2 см.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 26. Многогранный угол.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.