ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 180: Многогранный угол

План доказательства.

Нам даны три объекта: плоскость α, прямая a и плоскость β. По условию, прямая a не лежит в плоскости β (anot⊂β), при этом и прямая a, и плоскость β перпендикулярны одной и той же плоскости α. То есть a⊥α и β⊥α. Наша цель — доказать, что прямая a параллельна плоскости β (a∥β).

Ход рассуждений.

Воспользуемся признаком перпендикулярности прямой и плоскости. Так как плоскость β перпендикулярна плоскости α, то любая прямая, лежащая в плоскости β и перпендикулярная линии пересечения этих плоскостей, будет перпендикулярна всей плоскости α.

Пусть l=α∩β — линия пересечения плоскостей α и β. Проведем в плоскости β прямую b так, чтобы она была перпендикулярна прямой l (b⊥l). Согласно свойству перпендикулярных плоскостей (или задаче 179, на которую ссылается указание), эта прямая b будет перпендикулярна плоскости α (b⊥α).

Теперь у нас есть две прямые: данная прямая a и построенная прямая b. Обе они перпендикулярны одной и той же плоскости α (a⊥α и b⊥α).

Из стереометрии известно, что если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны между собой. Следовательно, a∥b.

Заключение.

Мы получили, что прямая a параллельна прямой b, которая лежит в плоскости β (b⊂β). При этом по условию задачи прямая a не лежит в плоскости β (anot⊂β).

По признаку параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости.

Таким образом, a∥β. Что и требовалось доказать.