ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 179: Многогранный угол

План доказательства.

Для решения задачи воспользуемся свойством взаимно перпендикулярных плоскостей. Если две плоскости перпендикулярны, то любая прямая, проведённая в одной из них перпендикулярно линии их пересечения, будет перпендикулярна второй плоскости. Нам нужно доказать обратное утверждение для конкретной точки: если через точку в плоскости α проведена прямая, перпендикулярная плоскости β, то эта прямая обязана лежать в плоскости α. Доказательство построим методом от противного или используя единственность перпендикуляра.

Ход рассуждений и вычисление.

Пусть даны две взаимно перпендикулярные плоскости α и β. Пусть l=α∩β — линия их пересечения. Возьмём произвольную точку A, лежащую в плоскости α. Через точку A проведена прямая m, такая что m⊥β.

Рассмотрим плоскость γ, проходящую через прямую m и перпендикулярную линии пересечения l. Так как m⊥β, а l лежит в β, то m⊥l. Следовательно, угол между прямой m и линией l равен 90^°.

Вспомним задачу 178 (или известное свойство): если две плоскости перпендикулярны, то перпендикуляр, опущенный на одну из них из любой точки другой плоскости, лежит в этой другой плоскости. Более строго:

1. Проведём в плоскости α прямую k, перпендикулярную линии пересечения l и проходящую через точку A. То есть k⊂α и k⊥l.
2. По теореме о перпендикулярности плоскостей, так как α⊥β и k⊥l (где l — линия пересечения), то прямая k перпендикулярна всей плоскости β. То есть k⊥β.
3. Таким образом, мы получили, что через точку A проходят две прямые, перпендикулярные плоскости β: это заданная прямая m и построенная нами прямая k.
4. Из аксиом стереометрии следует, что через данную точку пространства можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной плоскости.
5. Следовательно, прямая m совпадает с прямой k.

Так как прямая k по построению лежит в плоскости α, то и прямая m лежит в плоскости α.

Проверка и вывод.

Логика доказательства опирается на фундаментальное свойство единственности перпендикуляра к плоскости и признак перпендикулярности плоскостей. Мы показали, что любая прямая, исходящая из точки в плоскости α и уходящая перпендикулярно в плоскость β, должна совпадать с той единственной прямой в плоскости α, которая перпендикулярна линии пересечения. Это подтверждает исходное утверждение. Таким образом, доказано, что прямая m лежит в плоскости α.