ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 181: Многогранный угол

План решения.

Для доказательства перпендикулярности прямой MC к прямой a воспользуемся признаком перпендикулярности прямой и плоскости. Нам известно, что прямая MA перпендикулярна плоскости β, а прямая MB перпендикулярна плоскости β. Поскольку прямая a является линией пересечения плоскостей β и β, она лежит в обеих этих плоскостях. Следовательно, прямая a перпендикулярна обеим прямым MA и MB. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в некоторой плоскости, то она перпендикулярна всей этой плоскости. В нашем случае прямые MA и MB пересекаются в точке M и задают плоскость AMB. Значит, прямая a перпендикулярна плоскости AMB. Так как точка C лежит на прямой a и одновременно принадлежит плоскости AMB (по условию), то отрезок MC является частью прямой, проходящей через точку M в плоскости AMB. Любая прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярной данной прямой, также перпендикулярна этой прямой. Таким образом, MCbota.

Детальное доказательство.

1. По условию задачи MAbotβ. По определению перпендикулярности прямой и плоскости, прямая MA перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости β.
2. Прямая a является линией пересечения плоскостей β и β, следовательно, anotβ. Из пунктов 1 следует, что MAbota.
3. Аналогично, по условию MBbotβ. Так как anotβ, то MBbota.
4. Рассмотрим плоскость AMB, которая проходит через две пересекающиеся прямые MA и MB. Мы установили, что прямая a перпендикулярна обеим этим прямым (abotMA и abotMB).
5. Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в другой плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. Следовательно, abot(AMB).
6. Точка C — это точка пересечения прямой a с плоскостью AMB. Это означает, что точка C лежит в плоскости AMB.
7. Отрезок MC соединяет точку M и точку C. Обе эти точки принадлежат плоскости AMB, значит, вся прямая MC лежит в плоскости AMB.
8. Так как прямая a перпендикулярна плоскости AMB, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через основание перпендикуляра (точку C). Прямая MC удовлетворяет этому условию.

Проверка и вывод.

Логическая цепочка верна: из перпендикулярности MA и MB к плоскостям следует их перпендикулярность к линии пересечения a. Это позволяет заключить, что a перпендикулярна плоскости AMB. Поскольку MC лежит в плоскости AMB, угол между a и MC равен 90^o. Доказательство завершено.