ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 176: Многогранный угол

План решения.

Для нахождения расстояния от точки до плоскости необходимо опустить перпендикуляр из этой точки на данную плоскость. В данном случае нам нужно найти расстояние от вершины B ромба до плоскости ADM. Обозначим это расстояние как h=43. Поскольку двугранный угол при ребре AD равен 60^°, мы можем использовать определение линейного угла двугранного угла. Для этого проведем в плоскости ромба перпендикуляр к стороне AD из точки B, а затем свяжем длину этого перпендикуляра с искомым расстоянием до плоскости через синус двугранного угла.

Вычисление.

1. Пусть BH — высота ромба, проведенная из вершины B к стороне AD. Тогда BH⊥AD. Так как плоскость ADM проходит через сторону AD, то проекцией отрезка BH на эту плоскость является линия, лежащая в ней. Однако для связи с двугранным углом удобнее рассмотреть треугольник, образованный точкой B, её проекцией на плоскость ADM (назовем её K) и основанием перпендикуляра H на ребро AD.

2. По определению двугранного угла, если провести перпендикуляр BK к плоскости ADM, то K лежит в плоскости ADM. Отрезок HK будет лежать в плоскости ADM и будет перпендикулярен ребру AD (по теореме о трех перпендикулярах: так как BK⊥ADM и BH⊥AD, то проекция HK также перпендикулярна AD). Следовательно, угол ∠BHK является линейным углом двугранного угла B-AD-M.

3. Из условия известно, что двугранный угол равен 60^°, значит, ∠BHK=60^°.

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник BKH (∠BKH=90^°, так как BK — перпендикуляр к плоскости). Катет BK равен расстоянию от точки B до плоскости, то есть BK=43.

5. Найдем гипотенузу BH (которая является высотой ромба): BH=BK/sin(∠BHK)=43/sin60^°

6. Подставим значение синуса: sin60^°=3/2 BH=43/3/2=43·2/3=8

7. Теперь вернемся к плоскому ромбу ABCD. Мы нашли высоту BH=8. В прямоугольном треугольнике ABH (где ∠AHB=90^°) известен угол ∠BAD=45^°. Гипотенуза AB является стороной ромба, которую нужно найти.

8. Используем определение синуса в треугольнике ABH: sin(∠BAD)=BH/AB AB=BH/sin45^°

9. Подставим значения: sin45^°=2/2, BH=8 AB=8/2/2=16/2=82

Проверка.

Сторона ромба равна 82. Высота ромба h_romb=a·sinα=82·sin45^°=82·2/2=8. Расстояние от точки B до плоскости ADM равно произведению высоты ромба на синус двугранного угла: d=h_romb·sin60^°=8·3/2=43. Это совпадает с условием задачи. Ответ найден верно.