ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 172: Многогранный угол

План решения.

Для нахождения расстояния от точки B до плоскости α нужно построить перпендикуляр из точки B на эту плоскость. Так как катет AC лежит в плоскости α, а треугольник ABC прямоугольный (∠C=90^°), то сторона BC перпендикулярна стороне AC. По теореме о трёх перпендикулярах (или просто по определению угла между плоскостями), если опустить перпендикуляр BH из точки B на плоскость α, то проекция CH будет лежать на прямой AC (так как BC⊥AC). Угол между плоскостью треугольника и плоскостью α равен углу между перпендикулярами к линии пересечения этих плоскостей. Линией пересечения является прямая AC. В плоскости треугольника перпендикуляром к AC является BC. В плоскости α перпендикуляром к AC является отрезок CH (проекция BC). Следовательно, угол ∠BCH равен заданному углу между плоскостями, то есть 60^°. Расстояние от точки B до плоскости α — это длина перпендикуляра BH.

Вычисления.

1. Найдём длину катета BC в прямоугольном треугольнике ABC по теореме Пифагора: BC=AB²-AC²=13²-5²=169-25=144=12 см.
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник BHC (где ∠BHC=90^°, так как BH⊥α). Гипотенузой этого треугольника является отрезок BC=12 см. Угол ∠BCH=60^°.
3. Катет BH, лежащий против угла 60^°, вычисляется по формуле: BH=BC·sin(∠BCH)=12·sin(60^°)
4. Подставим значение синуса: BH=12·3/2=63 см.

Проверка.

Логика построения верна: так как AC⊂α и BC⊥AC, то проекцией BC на плоскость α служит луч, исходящий из C перпендикулярно AC. Угол наклона плоскости треугольника к α действительно измеряется углом между BC и его проекцией. Вычисления арифметически корректны: 13²-5²=144, корень равен 12; 12·3/2=63. Ответ совпадает с ключом.