ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 171: Многогранный угол
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Артём Савельев, методист по геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника лежит в плоскости α, а катет наклонен к этой плоскости под углом 30°. Нужно найти угол между плоскостью α и плоскостью треугольника.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Для нахождения угла между плоскостями нужно построить линейный угол этого двугранного угла. Пусть дан прямоугольный равнобедренный треугольник ABC с прямым углом при вершине C. Гипотенуза AB лежит в плоскости β (в условии обозначена как β, но для единообразия будем считать её плоскостью β или β, в тексте задачи β — это опечатка, обычно используют β или β, здесь примем β). Катет AC наклонён к плоскости β под углом 30o. Нам нужно найти угол между плоскостью треугольника ABC и плоскостью β.
Вычисление.
- Проведём из вершины C перпендикуляр CH к плоскости β. Точка H является проекцией точки C на плоскость β.
- Соединим точку H с точкой A. Отрезок AH — проекция катета AC на плоскость β. По определению угла между прямой и плоскостью, βCAH=30o.
- В прямоугольном треугольнике ACH (угол βAHC=90o) имеем соотношение: CH=ACββCAH=ACβ30o=1/2AC.
- Чтобы построить линейный угол двугранного угла между плоскостью треугольника и плоскостью β, проведём в плоскости треугольника ABC высоту CK к гипотенузе AB. Так как CHββ, то по теореме о трёх перпендикулярах отрезок HK также будет перпендикулярен AB (HKβAB).
- Таким образом, βCKH — искомый линейный угол двугранного угла. Обозначим его через β.
- Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник ABC. Пусть катет AC=a. Тогда второй катет BC=a, а гипотенуза AB=aβ2. Высота CK, проведённая к гипотенузе в равнобедренном прямоугольном треугольнике, равна половине гипотенузы: CK=AB/2=aβ2/2=a/β2.
- Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник CHK (угол βCHK=90o, так как CHββ). В нём мы знаем противолежащий катет CH и гипотенузу CK. Найдём синус угла β: ββ=CH/CK.
- Подставим найденные значения. Из пункта 3: CH=1/2AC=a/2. Из пункта 6: CK=a/β2. ββ=a/2/a/β2=a/2ββ2/a=β2/2=1/β2.
- Если ββ=1/β2, то угол β=45o.
Проверка.
Логика построения корректна: проекция высоты треугольника на основание двугранного угла позволяет связать наклон катета с наклоном плоскости. Числовые коэффициенты для равнобедренного прямоугольного треугольника (β2 и 1/2) дают стандартное значение арксинуса 1/β2, что соответствует углу 45o. Ответ совпадает с ключом.
45°
Задача требует применения теоремы о трёх перпендикулярах и свойств прямоугольного равнобедренного треугольника. Ключевой момент — выражение длины высоты треугольника (CK) и расстояния от вершины до плоскости (CH) через один и тот же параметр (катет a).
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 171 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 171?
Краткий ответ: 45°.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 26. Многогранный угол.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.