ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 173: Многогранный угол

План решения.

Для нахождения двугранных углов необходимо построить линейные углы этих двугранных углов. Линейный угол двугранного угла — это угол между перпендикулярами к ребру двугранного угла, проведёнными в его гранях из одной точки на ребре. 1. Для двугранного угла D-AC-B (или DACB) ребром является AC. Так как △ABC равносторонний, а CDbot(ABC), нужно найти проекцию или использовать теорему о трёх перпендикулярах. 2. Для двугранного угла D-AB-C (или DABC) ребром является AB. 3. Для двугранного угла B-DC-A (или BDCA) ребром является DC. Сначала найдём высоту тетраэдра CD, используя прямоугольный треугольник BCD (так как CDbotBC).

Вычисление.

Рассмотрим △BCD. По условию CDbot(ABC), значит, CDbotBC. Треугольник BCD прямоугольный с гипотенузой BD. Дано: BC=6, BD=3root7\. По теореме Пифагора: CD²+BC²=BD² CD²+6²=(3root7\)² CD²+36=9×7=63 CD²=63-36=27 CD=root27\=3root3\

Теперь найдём каждый двугранный угол.

1. Двугранный угол B-DC-A (BDCA). Ребро двугранного угла — DC. Грани — плоскости ADC и BDC. Так как CDbot(ABC), то CDbotAC и CDbotBC. Значит, углы △ADC и △BDC при вершине C прямые? Нет, CD перпендикулярна плоскости основания, поэтому она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку C. То есть CDbotAC и CDbotBC. Линейным углом двугранного угла с ребром CD является угол между прямыми AC и BC в плоскости ABC, так как эти прямые перпендикулярны ребру CD. Угол △ABC равносторонний, следовательно, angleACB=60^o. Ответ для этого угла: 60^o .

2. Двугранный угол D-AC-B (DACB). Ребро — AC. Грань ABC и грань ADC. В грани ABC проведём высоту BM к стороне AC (M — середина AC, так как △ABC равносторонний). Так как CDbot(ABC), то по теореме о трёх перпендикулярах, если BMbotAC, то и наклонная DMbotAC. Следовательно, angleDMB — линейный угол искомого двугранного угла. Найдём BM: в равностороннем △ABC со стороной 6 высота BM=aroot3\/2=6root3\/2=3root3\. Рассмотрим △DCM. Он прямоугольный (angleDCM=90^o, так как CDbotCM). Катеты: CD=3root3\, CM=AC/2=3. Гипотенуза DM=rootCD²+CM²\=root(3root3\)²+3²\=root27+9\=root36\=6. Теперь рассмотрим △DBM. Стороны: BM=3root3\, DM=6, BD=3root7\. Проверим, является ли этот треугольник прямоугольным, или найдём угол через косинусную теорему. Давайте проще: найдем тангенс угла DMB в прямоугольном треугольнике? Нет, △DBM не обязательно прямоугольный. Но мы можем рассмотреть △DMB иначе. Или используем координаты/векторы, но давайте проверим свойства. В △DMC мы нашли DM=6. В △BMC (прямой угол при M?) Нет, BMbotAC, значит △BMC прямоугольный при M. BC=6,MC=3,BM=3root3\. Верно. Теперь в △DMB: стороны DM=6,BM=3root3\,BD=3root7\. Применим теорему косинусов для угла angleDMB: BD²=DM²+BM²-2×DM×BM×cos(angleDMB) (3root7\)²=6²+(3root3\)²-2×6×3root3\×cos(angleDMB) 63=36+27-36root3\×cos(angleDMB) 63=63-36root3\×cos(angleDMB) 0=-36root3\×cos(angleDMB) cos(angleDMB)=0 Значит, angleDMB=90^o. Ответ для этого угла: 90^o .

3. Двугранный угол D-AB-C (DABC). Ребро — AB. Проведем высоту CN к AB в основании (N — середина AB). По теореме о трёх перпендикулярах DNbotAB. Линейный угол — angleDNC. △DNC прямоугольный при C (так как CDbot(ABC)→CDbotCN). Катет CD=3root3\. Катет CN — высота равностороннего △ABC: CN=3root3\. Так как катеты равны (CD=CN), то △DNC — равнобедренный прямоугольный. Следовательно, angleDNC=45^o. Ответ для этого угла: 45^o .

Проверка.

Мы получили три значения: 90^o, 45^o и 60^o. Они совпадают с ориентировочным ключом. Логика построения линейных углов корректна: использована теорема о трёх перпендикулярах и свойства равностороннего треугольника. Вычисления длин отрезков и применение теоремы Пифагора/косинусов подтверждены.