ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 151: Объём шара и площадь сферы

План решения:

• Для пункта а) нужно доказать, что проекцией треугольника ABD на плоскость ABC является именно треугольник ABC. Для этого достаточно найти проекции всех вершин треугольника ABD на данную плоскость.
• Для пункта б) необходимо доказать, что отрезок DH перпендикулярен стороне AB. Это следует из теоремы о трёх перпендикулярах, так как CD — перпендикуляр к плоскости, а CH — проекция наклонной DH (или связь через перпендикулярность).

Решение:

а) Рассмотрим проекцию треугольника ABD на плоскость ABC.

1. Вершина A лежит в плоскости ABC, поэтому её проекцией является сама точка A.
2. Вершина B также лежит в плоскости ABC, поэтому её проекцией является сама точка B.
3. По условию прямая CD перпендикулярна плоскости ABC. Следовательно, проекцией точки D на эту плоскость является точка C (основание перпендикуляра).

Таким образом, проекциями вершин A,B,D являются точки A,B,C соответственно. Значит, проекцией треугольника ABD на плоскость ABC является треугольник ABC. Что и требовалось доказать.

б) Нам дано, что CH — высота треугольника ABC, то есть CH⊥AB.

1. Прямая CD перпендикулярна плоскости ABC по условию задачи.
2. Следовательно, CD перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в частности, прямой AB. То есть CD⊥AB.
3. Теперь рассмотрим прямую AB. Она перпендикулярна двум пересекающимся прямым CD и CH, которые лежат в плоскости DCH (так как C,H,D определяют эту плоскость).
4. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в некоторой плоскости, то она перпендикулярна всей этой плоскости. Значит, AB⊥ плоскость DCH.
5. Отрезок DH лежит в плоскости DCH. Поскольку AB перпендикулярна всей плоскости DCH, то AB перпендикулярна любой прямой в ней, проходящей через точку пересечения с плоскостью. В данном случае это означает, что AB⊥DH.

Так как DH соединяет вершину D треугольника ABD с точкой H на противоположной стороне AB и перпендикулярна ей (DH⊥AB), то DH является высотой треугольника ABD. Что и требовалось доказать.

Проверка:

Логика доказательства опирается на определение ортогональной проекции и признак перпендикулярности прямой и плоскости. Теорема о трёх перпендикулярах подтверждает результат: если наклонная DH имеет проекцию CH, которая перпендикулярна прямой AB в плоскости основания, то и сама наклонная DH перпендикулярна AB. Решение корректно.