ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 148: Объём шара и площадь сферы

План решения.

Для доказательства перпендикулярности прямой MK и стороны BC воспользуемся теоремой о трёх перпендикулярах. Нам дано, что прямая AK перпендикулярна плоскости треугольника ABC. Точка M является серединой стороны BC правильного треугольника ABC. Значит, отрезок AM — это медиана, проведённая к стороне BC. В правильном треугольнике медиана также является высотой, поэтому AM⊥BC. Если проекцией наклонной KM на плоскость ABC является отрезок AM, то по теореме о трёх перпендикулярах наклонная KM будет перпендикулярна прямой BC, лежащей в этой плоскости.

Ход доказательства.

1. Рассмотрим треугольник ABC. По условию он правильный (равносторонний).
2. Точка M — середина стороны BC. Следовательно, отрезок AM является медианой треугольника ABC.
3. В равностороннем треугольнике каждая медиана одновременно является и высотой. Поэтому AM⊥BC.
4. По условию задачи прямая AK перпендикулярна плоскости ABC (AK⊥(ABC)). Это означает, что точка A является проекцией точки K на данную плоскость.
5. Следовательно, отрезок AM является проекцией наклонной KM на плоскость ABC.
6. Применим теорему о трёх перпендикулярах : если проекция наклонной на плоскость перпендикулярна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости, то и сама наклонная перпендикулярна этой прямой.
7. Так как проекция AM⊥BC, то наклонная KM⊥BC.

Проверка и вывод.

Логическая цепочка верна: мы использовали свойства правильного треугольника для установления перпендикулярности проекции (AM⊥BC) и условие перпендикулярности прямой к плоскости (AK⊥(ABC)), чтобы применить ключевую теорему стереометрии. Таким образом, утверждение доказано: MK⊥BC.