ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 144: Перпендикулярность прямых и плоскостей

План доказательства:

Чтобы доказать, что все точки прямой a равноудалены от плоскости α, нужно показать, что расстояние от любой произвольной точки на прямой до плоскости является величиной постоянной. Расстояние от точки до плоскости определяется как длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Мы воспользуемся свойством параллельности прямой и плоскости и признаком параллельности двух прямых.

Ход решения:

1. Пусть A и B — две произвольные различные точки прямой a. Так как прямая a параллельна плоскости α (a∥α), то точки A и B не лежат в плоскости α.
2. Опустим из точек A и B перпендикуляры на плоскость α. Пусть основания этих перпендикуляров — точки A₁ и B₁ соответственно. Тогда AA₁⊥α и BB₁⊥α.
3. По теореме о перпендикулярах к одной плоскости, прямые AA₁ и BB₁ параллельны между собой: AA₁∥BB₁.
4. Рассмотрим четырехугольник ABB₁A₁. Стороны AB и A₁B₁ лежат в разных плоскостях? Нет, давайте посмотрим внимательнее. Прямые AA₁ и BB₁ параллельны, значит, они определяют некоторую плоскость β. В этой плоскости β лежат прямые AA₁, BB₁ и прямая a (так как A,B∈a). Следовательно, прямая a лежит в плоскости β.
5. Так как a∥α, а a⊂β, то линия пересечения плоскостей β и α параллельна прямой a. Обозначим эту линию пересечения как l. То есть l=β∩α и l∥a.
6. Заметим, что точки A₁ и B₁ лежат на линии пересечения l, так как это основания перпендикуляров, опущенных на α, и одновременно они принадлежат плоскости β (поскольку AA₁⊂β и BB₁⊂β).
7. В плоскости β рассмотрим четырехугольник ABB₁A₁. У него сторона AB лежит на прямой a, а сторона A₁B₁ лежит на прямой l. По условию a∥l, следовательно, AB∥A₁B₁.
8. Стороны AA₁ и BB₁ перпендикулярны плоскости α, а значит, они перпендикулярны любой прямой в этой плоскости, проходящей через их основания. В частности, AA₁⊥l и BB₁⊥l. Поскольку A₁B₁ лежит на l, то AA₁⊥A₁B₁ и BB₁⊥A₁B₁.
9. Четырехугольник ABB₁A₁ имеет две параллельные стороны (AB∥A₁B₁) и два прямых угла при основании A₁B₁. Это прямоугольник.
10. В прямоугольнике противоположные стороны равны. Следовательно, AA₁=BB₁.

Проверка и вывод:

Мы выбрали две произвольные точки A и B на прямой a. Доказали, что длины перпендикуляров, опущенных из них на плоскость α, равны. Поскольку выбор точек был произвольным, это утверждение верно для любых двух точек прямой a. Значит, расстояние от любой точки прямой a до плоскости α одинаково. Что и требовалось доказать.