ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 145: Объём шара и площадь сферы

План решения.

В пункте а) необходимо доказать, что треугольник CBD является прямоугольным. Для этого воспользуемся теоремой о трёх перпендикулярах или признаком перпендикулярности прямой и плоскости. В пункте б) нужно найти длину отрезка BD, используя свойства прямоугольного треугольника CBD и теорему Пифагора.

Решение пункта а).

По условию задачи прямая AD перпендикулярна плоскости треугольника ABC. Это означает, что AD перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку A. Следовательно, AD⊥AC и AD⊥AB.

Также по условию угол C в треугольнике ABC прямой, то есть BC⊥AC.

Рассмотрим прямую BC. Она перпендикулярна прямой AC (так как ∠C=90^°) и перпендикулярна прямой AD (так как AD⊥ плоскость ABC, а BC лежит в этой плоскости). Поскольку AC и AD — две пересекающиеся прямые в плоскости ADC, то прямая BC перпендикулярна всей плоскости ADC.

Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Прямая CD лежит в плоскости ADC. Значит, BC⊥CD.

Следовательно, угол BCD равен 90^°, и треугольник CBD является прямоугольным с катетами BC и CD.

Решение пункта б).

Из доказательства пункта а) мы знаем, что треугольник CBD прямоугольный, причём прямой угол находится при вершине C (∠BCD=90^°).

Даны катеты: BC=a и DC=b. Нам нужно найти гипотенузу BD.

Применим теорему Пифагора для треугольника CBD:

Проверка.

Логика рассуждений опирается на фундаментальные признаки перпендикулярности в пространстве. Если прямая перпендикулярна плоскости, она перпендикулярна всем прямым в ней. Обратная задача: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, она перпендикулярна самой плоскости. Мы показали, что BC⊥ плоскость ADC, откуда следует BC⊥CD. Вычисление гипотенузы стандартное. Результат совпадает с ожидаемым ответом.