ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 147: Объём шара и площадь сферы

План решения:

Для доказательства того, что треугольники AMD и MCD являются прямоугольными, необходимо установить наличие прямых углов в этих треугольниках. Мы воспользуемся теоремой о трёх перпендикулярах. Сначала определим проекцию наклонной MA (или MC) на плоскость основания, затем проверим перпендикулярность этой проекции к стороне прямоугольника, проходящей через соответствующую вершину.

Ход доказательства для треугольника AMD:

1. По условию задачи MB⊥ABCD, значит, B — это проекция точки M на плоскость прямоугольника.
2. Рассмотрим наклонную MA. Её проекцией на плоскость ABCD является отрезок BA.
3. Так как ABCD — прямоугольник, то его соседние стороны взаимно перпендикулярны: BA⊥AD.
4. Согласно теореме о трёх перпендикулярах, если проекция наклонной (BA) перпендикулярна прямой в плоскости (AD), то и сама наклонная (MA) перпендикулярна этой прямой. Следовательно, MA⊥AD.
5. Значит, угол ∠MAD=90^°, и треугольник AMD — прямоугольный с гипотенузой MD.

Ход доказательства для треугольника MCD:

1. Рассмотрим наклонную MC. Её проекцией на плоскость ABCD является отрезок BC.
2. В прямоугольнике ABCD сторона BC перпендикулярна стороне CD: BC⊥CD.
3. Применим теорему о трёх перпендикулярах: так как проекция наклонной MC (отрезок BC) перпендикулярна прямой CD, лежащей в плоскости, то и наклонная MC перпендикулярна CD.
4. Следовательно, MC⊥CD, то есть угол ∠MCD=90^°.
5. Треугольник MCD является прямоугольным с гипотенузой MD.

Проверка и вывод:

Мы последовательно применили теорему о трёх перпендикулярах к обеим рассматриваемым наклонным. В обоих случаях было установлено, что одна из сторон треугольника перпендикулярна другой, что подтверждает их прямоугольность. Утверждение доказано.