ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 150: Объём шара и площадь сферы

План решения:

• Так как прямая AK перпендикулярна плоскости прямоугольника ABCD, то она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку A. Следовательно, треугольники KAD, KAB и KAC являются прямоугольными с прямым углом при вершине A.
• Расстояние от точки K до плоскости — это длина перпендикуляра AK. Обозначим AK=h.
• Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми AK и CD нужно найти общий перпендикуляр. Так как AK⊥(ABCD), а CD⊂(ABCD), то проекцией AK на плоскость является точка A. Расстояние от точки A до прямой CD в прямоугольнике равно стороне AD. Проверим, является ли AD общим перпендикуляром.

Вычисление:

1. Рассмотрим пункт а) . В прямоугольном треугольнике KAD по теореме Пифагора: KD²=AK²+AD² В прямоугольном треугольнике KAB: KB²=AK²+AB² В прямоугольном треугольнике KAC: KC²=AK²+AC² Так как ABCD — прямоугольник, то диагональ AC связана со сторонами соотношением AC²=AB²+AD². Подставим выражения для квадратов катетов из первых двух уравнений (AD²=KD²-AK² и AB²=KB²-AK²) в формулу для диагонали: AC²=(KB²-AK²)+(KD²-AK²)=KB²+KD²-2AK² Теперь используем третье уравнение (AC²=KC²-AK²): KC²-AK²=KB²+KD²-2AK² Перенесем все слагаемые с AK в одну сторону: 2AK²-AK²=KB²+KD²-KC² AK²=KB²+KD²-KC² Подставим числовые значения (KD=6,KB=7,KC=9): AK²=7²+6²-9²=49+36-81=85-81=4 Отсюда AK=4=2 см. Ответ на пункт а): расстояние от точки K до плоскости равно 2 см .
2. Рассмотрим пункт б) . Нам нужно найти расстояние между прямыми AK и CD. Прямая AK перпендикулярна плоскости ABCD, значит, она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в том числе и прямой CD? Нет, не обязательно пересекает. Но направление вектора нормали к плоскости совпадает с AK. Более строгий геометрический подход: Проведем перпендикуляр из точки A к прямой CD. В прямоугольнике ABCD сторона AD перпендикулярна стороне CD. Значит, AD⊥CD. Также известно, что AK⊥(ABCD), следовательно, AK⊥AD. Таким образом, отрезок AD перпендикулярен обеим прямым: AK (так как AK перпендикулярна всей плоскости, содержащей AD) и CD (по свойству прямоугольника). Значит, длина отрезка AD и есть искомое расстояние между скрещивающимися прямыми AK и CD. Найдем AD. Из пункта а) мы знаем, что AK=2 см. Используем треугольник KAD: KD²=AK²+AD² 6²=2²+AD² 36=4+AD² AD²=32 AD=32=16·2=42 см .

Проверка:

Проверим согласованность данных. Если AK=2 и AD=42, то KD=2²+(42)²=4+32=36=6 (верно). Если AK=2, найдем AB. Из KB=7: AB²=KB²-AK²=49-4=45, AB=45=35. Диагональ AC²=AB²+AD²=45+32=77. Проверим KC: KC²=AK²+AC²=4+77=81, откуда KC=9 (верно). Все данные условия выполнены. Ответы совпадают с ориентировочным ключом.