ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 97: Параллельность прямых и плоскостей

План доказательства.

Рассмотрим два угла ∠AOB и ∠A₁O₁B₁, стороны которых соответственно параллельны: OA∥O₁A₁ и OB∥O₁B₁. Нам нужно доказать, что либо ∠AOB=∠A₁O₁B₁, либо ∠AOB+∠A₁O₁B₁=180^°. Доказательство разобьем на два случая в зависимости от направления лучей относительно вершин углов.

Случай 1. Углы равны.

Пусть лучи OA и O₁A₁ направлены в одну сторону, а лучи OB и O₁B₁ также направлены в одну сторону (или оба пары лучей направлены в противоположные стороны). Проведем через точку O₁ прямую, параллельную прямой AB (если она существует) или воспользуемся свойством соответственных углов при параллельных прямых. Более строгий геометрический подход: перенесем угол ∠AOB параллельным переносом так, чтобы его вершина совпала с вершиной O₁. Поскольку стороны параллельны и сонаправлены, сторона OA ляжет на луч O₁A₁, а сторона OB — на луч O₁B₁. Следовательно, углы совмещаются, значит, они равны: ∠AOB=∠A₁O₁B₁

Случай 2. Сумма углов равна 180^°.

Пусть одна пара сторон направлена в одну сторону, а другая пара — в противоположные. Например, OA∥O₁A₁ (сонаправлены), но OB∥O₁B₁ (противоположно направлены). Продолжим луч O₁B₁ в обратном направлении до луча O₁C. Тогда угол ∠A₁O₁C образован сонаправленными сторонами (O₁A₁ и O₁C, где O₁C сонаправлен с OB). По первому случаю ∠AOB=∠A₁O₁C. Но углы ∠A₁O₁C и ∠A₁O₁B₁ являются смежными, так как лежат на одной прямой CB₁. Поэтому их сумма равна 180^°: ∠A₁O₁C+∠A₁O₁B₁=180^° Подставляя равенство из первого случая, получаем: ∠AOB+∠A₁O₁B₁=180^°

Проверка и вывод.

Мы рассмотрели все возможные комбинации направлений лучей для двух пар параллельных прямых. Если обе пары лучей сонаправлены или обе противоположно направлены, углы равны. Если одна пара сонаправлена, а другая противоположно направлена, углы в сумме дают развернутый угол. Таким образом, утверждение доказано: два угла с соответственно параллельными сторонами либо равны, либо их сумма равна 180^°.