ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 68: Параллельность прямых и плоскостей

План решения:

• Рассмотрим треугольник ABC, который является гранью тетраэдра.
• Используем свойство средней линии треугольника для установления параллельности прямой MN и ребра BC.
• Применим признак параллельности прямой и плоскости: если прямая вне плоскости параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости.

Вычисление и доказательство:

1. По условию задачи точки M и N являются серединами рёбер AB и AC соответственно. Следовательно, отрезок MN является средней линией треугольника ABC.
2. Согласно теореме о средней линии треугольника, средняя линия параллельна третьей стороне и равна её половине. Таким образом, мы получаем соотношение: MN∥BC.
3. Теперь проанализируем взаимное расположение прямой MN и плоскости BCD. Прямая BC лежит в плоскости BCD (BC⊂(BCD)), так как точки B и C принадлежат этой грани.
4. Прямая MN не лежит в плоскости BCD, поскольку точка A (к которой примыкают стороны AB и AC, содержащие середины M и N) не принадлежит плоскости основания BCD в невырожденном тетраэдре.
5. Так как прямая MN параллельна прямой BC, которая лежит в плоскости BCD, и сама прямая MN не принадлежит этой плоскости, то по признаку параллельности прямой и плоскости делаем вывод: MN∥(BCD).

Проверка:

Логика доказательства опирается на фундаментальные свойства планиметрии (средняя линия) и стереометрии (признак параллельности). Если бы прямая MN пересекала плоскость BCD, то она пересекала бы и прямую BC (или её продолжение), что противоречит их параллельности. Следовательно, пересечения нет, и прямая параллельна плоскости.