ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 65: Объём шара и площадь сферы

План решения:

• В пункте а) проанализируем взаимное расположение сторон четырёхугольников, используя свойства параллельных плоскостей и отрезков.
• В пункте б) воспользуемся результатами пункта а), чтобы установить равенство соответствующих сторон треугольников A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂, а затем применим признак равенства треугольников по трём сторонам.

Решение пункта а):

По условию задачи отрезки A₁A₂, B₁B₂ и C₁C₂ параллельны друг другу. Рассмотрим четырёхугольник A₁B₁B₂A₂. Его стороны A₁A₂ и B₁B₂ лежат на параллельных прямых (так как это части данных параллельных отрезков). Стороны A₁B₁ и A₂B₂ являются линиями пересечения плоскости β с плоскостью, проходящей через параллельные прямые A₁A₂ и B₁B₂, и плоскости β с той же плоскостью... Нет, точнее: точки A_1,B₁ лежат в одной плоскости β, а A_2,B₂ — в другой плоскости β? Условие говорит "между параллельными плоскостями". Обычно концы A_1,B_1,C₁ лежат в одной плоскости (назовем её β), а A_2,B_2,C₂ — в другой (β или β′). В стандартной формулировке таких задач концы одного типа лежат в одной плоскости, другого — в другой. Пусть A_1,B_1,C₁∉β и A_2,B_2,C₂∉β (или наоборот, но суть одна: A_1,B₁ в одной плоскости, A_2,B₂ в другой).

Так как плоскости β и β параллельны, то любая третья плоскость пересекает их по параллельным прямым. Плоскость, проходящая через параллельные прямые A₁A₂ и B₁B₂, пересекает плоскости β и β по прямым A₁B₁ и A₂B₂. Следовательно, A₁B₁not→A₂B₂ (параллельны).

Итак, в четырёхугольнике A₁B₁B₂A₂: сторона A₁A₂not→B₁B₂ (по условию) и сторона A₁B₁not→A₂B₂ (как линии пересечения параллельных плоскостей третьей плоскостью). Четырёхугольник с двумя парами параллельных противоположных сторон является параллелограммом .

Аналогично рассуждая для других пар отрезков, получаем, что четырёхугольники B₁C₁C₂B₂ и A₁C₁C₂A₂ также являются параллелограммами .

Решение пункта б):

Так как A₁B₁B₂A₂ — параллелограмм, то его противоположные стороны равны: A₁B₁=A₂B_2.

Так как B₁C₁C₂B₂ — параллелограмм, то его противоположные стороны равны: B₁C₁=B₂C_2.

Так как A₁C₁C₂A₂ — параллелограмм, то его противоположные стороны равны: A₁C₁=A₂C_2.

Теперь сравним треугольники A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂. Мы установили, что три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника (A₁B₁=A₂B₂, B₁C₁=B₂C₂, A₁C₁=A₂C₂).

Согласно первому признаку равенства треугольников (по трём сторонам), следует, что △A₁B₁C₁=△A₂B₂C_2.

Проверка:

Логика опирается на фундаментальное свойство стереометрии: если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то линии пересечения параллельны. Это гарантирует параллельность сторон A₁B₁ и A₂B₂. Равенство отрезков между параллельными плоскостями, заключённых между параллельными прямыми, является следствием того, что эти отрезки являются сторонами параллелограмма. Доказательство корректно и не требует дополнительных предположений о форме треугольников.