ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 64: Объём шара и площадь сферы

План решения.

Для доказательства подобия треугольников A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ воспользуемся признаком подобия по трём сторонам. Нам нужно показать, что соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны. Для этого рассмотрим плоскости, образованные парами пересекающихся прямых, проходящих через общую точку O. В каждой такой плоскости мы получим трапецию (или два подобных треугольника с общей вершиной), свойства которых позволят найти отношения длин отрезков.

Ход доказательства.

Обозначим точку пересечения трёх прямых за O. Прямые OA, OB и OC не лежат в одной плоскости, поэтому они образуют три различные плоскости: (AOB), (BOC) и (COA). Рассмотрим плоскость (AOB). Она пересекает две параллельные плоскости β₁ и β₂ по прямым A₁B₁ и A₂B₂ соответственно. По теореме о линиях пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью, эти линии параллельны: A₁B₁∥A₂B₂. В плоскости (AOB) рассмотрим треугольник OA₂B₂. Так как прямая A₁B₁ параллельна основанию A₂B₂ и проходит через точки на сторонах угла O, то треугольники OA₁B₁ и OA₂B₂ подобны по первому признаку (угол при вершине O общий, а углы при основаниях равны как соответственные при параллельных прямых). Из подобия следует пропорциональность сторон: A₁B₁/A₂B₂=OA₁/OA₂=OB₁/OB₂ Аналогично рассуждаем для плоскости (BOC). Прямые B₁C₁ и B₂C₂ параллельны, так как лежат в параллельных плоскостях и принадлежат секущей плоскости (BOC). Треугольники OB₁C₁ и OB₂C₂ подобны, откуда: B₁C₁/B₂C₂=OB₁/OB₂=OC₁/OC₂ Теперь рассмотрим плоскость (COA). Аналогично получаем, что C₁A₁∥C₂A₂, и треугольники OC₁A₁ и OC₂A₂ подобны: C₁A₁/C₂A₂=OC₁/OC₂=OA₁/OA₂ Соберём полученные отношения. Обозначим коэффициент подобия для первой пары лучей как k₁=OA₁/OA₂, для второй как k₂=OB₁/OB₂, для третьей как k₃=OC₁/OC₂. Из первого соотношения имеем A₁B₁/A₂B₂=k₁=k₂. Из второго соотношения имеем B₁C₁/B₂C₂=k₂=k₃. Из третьего соотношения имеем C₁A₁/C₂A₂=k₃=k₁. Таким образом, все три отношения равны одному и тому же числу k: A₁B₁/A₂B₂=B₁C₁/B₂C₂=C₁A₁/C₂A₂=k Это означает, что соответствующие стороны треугольников A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ пропорциональны. По третьему признаку подобия треугольников (по трём сторонам), треугольники A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ подобны.

Проверка и вывод.

Логика доказательства опирается на фундаментальные свойства параллельности в пространстве: если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то линии пересечения параллельны. Это свойство гарантирует наличие параллельных оснований в рассмотренных треугольных сечениях, что неизбежно приводит к их подобию. Поскольку отношение отрезков на лучах, исходящих из одной точки, постоянно для всех лучей, проходящих через эту точку и ограниченных параллельными плоскостями, то и коэффициенты подобия для всех трёх сторон треугольников совпадают. Утверждение доказано.