ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 60: Объём шара и площадь сферы

План доказательства:

Для доказательства параллельности двух плоскостей β и β воспользуемся признаком параллельности плоскостей. Нам известно, что обе эти плоскости параллельны третьей плоскости β. Мы можем провести в одной из них (например, в β) две пересекающиеся прямые и показать, что они параллельны соответствующим прямым в другой плоскости (β), используя свойство параллельных плоскостей.

Ход решения:

1. Возьмём произвольную точку A в плоскости β.
2. Проведём через точку A две пересекающиеся прямые a и b, лежащие в плоскости β.
3. Рассмотрим плоскость β. По условию β∥β. Согласно определению параллельности плоскостей, у них нет общих точек. Следовательно, прямая a не имеет общих точек с плоскостью β, то есть a∥β. Аналогично, b∥β.
4. Теперь рассмотрим плоскость β. Так как β∥β, то по тому же определению прямая a не имеет общих точек с плоскостью β, то есть a∥β. Аналогично, b∥β.
5. Итак, мы получили, что две пересекающиеся прямые a и b плоскости β параллельны плоскости β.
6. По признаку параллельности плоскостей : если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум другим прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Однако здесь удобнее использовать другое следствие или аксиому: если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
7. Так как прямые a и b лежат в плоскости β и параллельны плоскости β, то плоскость β параллельна плоскости β.

Проверка и вывод:

Мы использовали только данные условия (β∥β и β∥β) и стандартные теоремы стереометрии. Логическая цепочка верна: отсутствие общих точек между β и β гарантирует параллельность любой прямой из β к β. То же самое для β. Таким образом, β и β имеют одинаковое «расстояние» до β и не могут пересечься друг с другом, так как любая точка β удалена от β на фиксированное расстояние, а любая точка β — тоже. Более строго: предположим обратное, что β и β пересекаются по прямой c. Тогда прямая c лежит в β, значит c∥β. Но c лежит в β, значит c∥β. Это противоречит тому, что через точку вне плоскости можно провести единственную плоскость, параллельную данной? Нет, проще: если бы β и β пересекались, то их линия пересечения имела бы общие точки с β (так как она лежит в β, а β∥β — это неверно, β и β не имеют общих точек). Противоречие. Значит, β∥β.