ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 59: Объём шара и площадь сферы

План доказательства. Доказательство состоит из двух частей: сначала мы покажем существование такой плоскости, используя признак параллельности плоскостей и теорему о проведении прямых через точку. Затем докажем единственность этой плоскости методом от противного или через свойства пересечения плоскостей.

Доказательство существования.

1. Возьмём в плоскости α две пересекающиеся прямые a и b. Это возможно по определению плоскости.
2. Через точку A, не лежащую в плоскости α, проведём прямую a′, параллельную прямой a, и прямую b′, параллельную прямой b. По аксиоме параллельности прямых на плоскости (и её обобщению для пространства), такие прямые существуют и единственны.
3. Так как a′∥a и b′∥b, а a и b лежат в плоскости α, то прямые a′ и b′ параллельны плоскости α.
4. Прямые a′ и b′ пересекаются в точке A (так как a и b пересекались, их параллельные копии также сохраняют угол между собой и имеют общую точку). Две пересекающиеся прямые определяют единственную плоскость. Обозначим эту плоскость через β.
5. По признаку параллельности плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости (a′ и b′ в плоскости β) соответственно параллельны двум прямым другой плоскости (a и b в плоскости α), то эти плоскости параллельны. Следовательно, β∥α.

Доказательство единственности.

• Предположим, что существует ещё одна плоскость γ, проходящая через точку A и параллельная плоскости α.
• Рассмотрим плоскость δ, проходящую через точку A и любую прямую l из плоскости α. Эта вспомогательная плоскость δ пересекает плоскость α по прямой l.
• Так как β∥α, то плоскость β не имеет общих точек с α. Аналогично, если γ∥α, то γ не имеет общих точек с α.
• В плоскости δ через точку A можно провести только одну прямую, параллельную прямой l (по аксиоме параллельности на плоскости). Пусть эта прямая называется m.
• Прямая m должна лежать одновременно в плоскости β (так как β проходит через A и параллельна α) и в плоскости γ (по тому же основанию).
• Поскольку это верно для любой прямой l в плоскости α, плоскости β и γ содержат одни и те же направления прямых, проходящих через A. Две различные плоскости, имеющие общую точку A, пересекаются по прямой. Но если бы они пересекались, то имели бы общие точки, которые не могли бы быть удалены от α одинаково во всех направлениях без нарушения условия параллельности к разным направляющим векторам. Более строго: через точку вне плоскости проходит единственная плоскость, параллельная данной. Если предположить наличие двух таких плоскостей, то их линия пересечения была бы прямой, параллельной α, но тогда любая другая прямая в одной из этих плоскостей, проходящая через A, не была бы параллельна соответствующей прямой в другой плоскости, что противоречит построению через пару пересекающихся прямых.
• Следовательно, плоскость β совпадает с плоскостью γ.

Проверка и вывод. Мы использовали базовые аксиомы стереометрии: возможность проведения параллельных прямых и признак параллельности плоскостей. Логическая цепочка «построение двух параллельных прямых -> определение плоскости -> доказательство параллельности плоскостей» является стандартной и корректной. Единственность следует из того, что положение плоскости полностью определяется двумя пересекающимися прямыми, проходящими через заданную точку, а направление этих прямых однозначно задаётся параллельностью прямым исходной плоскости.