ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 57: Свойства параллельных плоскостей

План доказательства.

Для решения задачи воспользуемся методом от противного или прямым рассуждением через построение вспомогательной плоскости. Пусть даны две параллельные плоскости α и β, то есть α∥β. Также дана прямая a, которая параллельна плоскости α (a∥α). Нам нужно доказать, что либо a∥β, либо a⊂β.

Ход вычисления (доказательства).

Рассмотрим взаимное расположение прямой a и плоскости β. Возможны три случая: прямая пересекает плоскость, лежит в ней или параллельна ей.

1. Предположим, что прямая a пересекает плоскость β в некоторой точке M. То есть a∩β=M.
2. Проведем через прямую a и точку M произвольную плоскость γ. Так как точка M лежит на прямой a, а прямая a параллельна плоскости α, то сама прямая a не имеет общих точек с плоскостью α.
3. Плоскость γ пересекает параллельные плоскости α и β по двум прямым. Обозначим линию пересечения γ и α как прямую b, а линию пересечения γ и β как прямую c.
4. По свойству параллельных плоскостей, если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то линии их пересечения параллельны. Следовательно, b∥c.
5. Так как точка M принадлежит плоскости β и лежит на прямой a, которая находится в плоскости γ, то точка M должна лежать на линии пересечения плоскостей γ и β, то есть на прямой c.
6. Теперь рассмотрим положение прямой a относительно прямой b в плоскости γ. Прямая a проходит через точку M, лежащую на прямой c. Если бы прямая a совпадала с прямой c, то она лежала бы в плоскости β. Но мы предположили, что a пересекает β, что для прямой, лежащей в плоскости, является тривиальным случаем (или же мы рассматриваем случай, когда a не лежит в β изначально, но тогда пересечение — это одна точка).
7. Давайте уточним логику. Если прямая a пересекает плоскость β в точке M, то M∈a и M∈β. Поскольку a∥α, то a не имеет общих точек с α. Значит, точка M не может принадлежать α (так как M∈a). Однако, если α∥β, то они не имеют общих точек. Это не создает противоречия напрямую.
8. Используем другой подход. Через прямую a проведем плоскость δ, параллельную плоскости α. Такая плоскость существует и единственна. Так как α∥β, то любая плоскость, параллельная α, также параллельна β или совпадает с ней? Нет, это неверно. Плоскость δ содержит a. Если a пересекает β, то плоскость δ тоже пересекает β.
9. Вернемся к классическому доказательству. Допустим, прямая a не параллельна плоскости β и не лежит в ней. Тогда прямая a пересекает плоскость β в точке P.
10. Через точку P и прямую a можно провести бесконечно много плоскостей. Выберем одну из них, обозначим её π. Эта плоскость π пересекает плоскость β по прямой l₁, проходящей через P. И она пересекает плоскость α по прямой l₂.
11. Так как α∥β, то l₁∥l₂.
12. Прямая a лежит в плоскости π и проходит через точку P, которая лежит на l₁. При этом a∥α, значит, a не имеет общих точек с l₂ (так как l₂⊂α).
13. В плоскости π у нас есть две параллельные прямые l₁ и l₂. Точка P лежит на l₁. Прямая a проходит через P. Если a не совпадает с l₁, то она пересекает l₁ только в точке P. Может ли a быть параллельна l₂? Да, если a∥l₂, то так как l₂∥l₁, то a∥l₁. Но a и l₁ имеют общую точку P. Две различные прямые не могут быть параллельны и иметь общую точку. Значит, a должна совпадать с l₁.
14. Если a совпадает с l₁, то a лежит в плоскости β (так как l₁ — линия пересечения π и β).
15. Следовательно, предположение о том, что a пересекает β вне случаев «лежит в» или «параллельна», приводит к тому, что a всё равно лежит в β.

Более строгий вариант:

Пусть a не параллельна β. Тогда a пересекает β или лежит в β. Если a не лежит в β, то она пересекает β в единственной точке A.

Проведем через прямую a плоскость γ, которая пересекает плоскость α по прямой b. Так как a∥α, то a∥b (по признаку параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости; здесь наоборот, раз a∥α, то при пересечении a и α плоскостью γ, получаем a∥b).

Плоскость γ также пересекает плоскость β по прямой c. Так как α∥β, то b∥c.

Итак, в плоскости γ имеем: a∥b и b∥c. По транзитивности параллельности прямых следует, что a∥c.

Но прямая c лежит в плоскости β. Прямая a пересекает плоскость β в точке A. Значит, точка A лежит на прямой c (так как A∈a и A∈β, а a∩β=A, и c=γ∩β, где a⊂γ, следовательно A∈c).

Получается, что прямая a параллельна прямой c и одновременно пересекает её в точке A. Это возможно только в том случае, если прямая a совпадает с прямой c.

Если a совпадает с c, то a лежит в плоскости β.

Таким образом, если прямая a не параллельна плоскости β, то она обязана лежать в ней.

Проверка и вывод.

Мы рассмотрели все возможные случаи взаимного расположения прямой и плоскости. Если прямая не параллельна второй плоскости, то она либо пересекает её, либо лежит в ней. Доказательство показало, что случай пересечения невозмож без перехода в случай «лежит в». Следовательно, утверждение верно: прямая a либо параллельна плоскости β, либо лежит в ней.