ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 55: Свойства параллельных плоскостей

План доказательства. Для доказательства утверждения воспользуемся методом от противного. Предположим, что прямая a, пересекающая плоскость α, не пересекает некоторую другую плоскость β, параллельную α. Это означает, что прямая a либо лежит в плоскости β, либо параллельна ей. Мы покажем, что оба этих случая приводят к противоречию с условиями задачи и свойствами параллельных плоскостей.

Ход рассуждений. 1. Пусть даны две параллельные плоскости α∥β и прямая a, которая пересекает плоскость α в точке A. То есть a∩α=A. 2. Допустим, что прямая a не пересекает плоскость β. Тогда возможны два варианта взаимного расположения прямой и плоскости:

• Прямая a параллельна плоскости β (a∥β).
• Прямая a лежит в плоскости β (a⊂β).

3. Рассмотрим первый случай: a∥β. По теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей плоскостью, если прямая параллельна одной из двух параллельных плоскостей, то она может быть расположена относительно другой по-разному. Однако более строгий подход использует свойство проекций или вспомогательную плоскость. Проведем через точку A и прямую b, лежащую в плоскости β, плоскость γ. Но проще использовать определение параллельности прямой и плоскости. Если a∥β, то a не имеет общих точек с β. Так как α∥β, то любая прямая, пересекающая одну из них, должна пересекать и другую, если только она не параллельна обеим одновременно (что невозможно для секущей) или не лежит в одной из них. Давайте проверим это строго. 4. Возьмем произвольную точку B на прямой a, отличную от A. Через точки A и B проходит сама прямая a. Проведем через прямую a какую-нибудь плоскость δ, которая пересекает плоскость β по прямой c. Поскольку α∥β, а плоскость δ их пересекает, то линии пересечения a₁=δ∩α и c=δ∩β должны быть параллельны (a₁∥c). Заметим, что так как точка A лежит на a и в α, то A лежит и на a₁. Таким образом, в плоскости δ у нас есть прямые a и a₁, которые пересекаются в точке A. Прямая c параллельна a₁. В плоскости δ прямая a пересекает прямую a₁, значит, она не параллельна a₁. Следовательно, a не параллельна и c (так как c∥a₁). Если две прямые в одной плоскости не параллельны, они пересекаются. Значит, прямая a пересекает прямую c. А так как прямая c лежит в плоскости β, то точка пересечения a и c является общей точкой прямой a и плоскости β. Это противоречит предположению, что a∥β.

5. Рассмотрим второй случай: a⊂β. Если прямая a лежит в плоскости β, то все её точки принадлежат β. Но мы знаем, что точка A принадлежит прямой a и плоскости α. Значит, точка A принадлежит и α, и β. Это означает, что плоскости α и β имеют общую точку A. Однако по условию α∥β, то есть они не имеют общих точек. Получаем противоречие.

Вывод. Оба возможных случая «непересечения» привели к противоречиям. Следовательно, наше первоначальное предположение неверно. Прямая a, пересекающая плоскость α, обязательно пересекает любую плоскость β, параллельную α. Что и требовалось доказать.