ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 52: Свойства параллельных плоскостей

План доказательства:

• Обозначим треугольник как ABC, а заданную плоскость как β (в условии названа β).
• Используем признак параллельности прямой и плоскости: если прямая вне плоскости параллельна какой-либо прямой в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости.
• Рассмотрим плоскость, проходящую через стороны AB и AC. Так как эти стороны параллельны плоскости β, то линия пересечения плоскости ABC с плоскостью β будет параллельна обеим этим сторонам. Это возможно только если плоскость ABC параллельна плоскости β или совпадает с ней (что невозможно по условию задачи о треугольнике и внешней плоскости, обычно подразумевается, что треугольник не лежит в β). Более строгий подход: проведем через точку A плоскость β′, параллельную β. Тогда проекции сторон... Нет, проще использовать теорему о параллельных плоскостях.

Ход решения:

1. Пусть дан треугольник ABC и плоскость β. По условию ABnotbotβ и ABnotβ, при этом ABβ. Аналогично ACβ.
2. Проведем через прямую AB плоскость θ₁, пересекающую плоскость β по прямой a. Поскольку ABβ, то ABa.
3. Проведем через прямую AC плоскость θ₂, пересекающую плоскость β по прямой b. Поскольку ACβ, то ACb.
4. Теперь рассмотрим плоскость ABC, проходящую через две пересекающиеся прямые AB и AC. В плоскости β есть прямые a и b. Однако более элегантно воспользоваться свойством: если две пересекающиеся прямые одной плоскости (AB и AC) соответственно параллельны двум прямым другой плоскости (β), то эти плоскости параллельны. Но здесь мы не знаем, лежат ли соответствующие прямые в β.
5. Давайте используем определение параллельности прямой и плоскости через проекцию или вспомогательные плоскости. Проведем через вершину B прямую BB₁, параллельную β? Нет.
6. Вернемся к классическому доказательству. Пусть ABβ и ACβ. Рассмотрим плоскость ABC. Если эта плоскость пересекает β, то линия пересечения l должна быть параллельна AB (так как ABβ) и параллельна AC (так как ACβ). Через точку пересечения A нельзя провести две различные прямые, параллельные одной прямой l (аксиома параллельности). Следовательно, предположение о пересечении неверно. Значит, плоскость ABC параллельна плоскости β (ABCβ).
7. Так как плоскость ABC параллельна плоскости β, то любая прямая, лежащая в плоскости ABC, также параллельна плоскости β (при условии, что она не лежит в β, что верно для третьей стороны BC, так как A не лежит в β).
8. Следовательно, третья сторона BC параллельна плоскости β.

Проверка:

Логика опирается на фундаментальное свойство: если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Из параллельности плоскостей следует параллельность любой прямой первой плоскости второй плоскости. Условие выполнено корректно.