ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 56: Свойства параллельных плоскостей

План доказательства.

Для решения задачи воспользуемся методом от противного. Предположим, что существует прямая l, проходящая через точку A и параллельная плоскости β, но не лежащая в плоскости β. Мы покажем, что это предположение приводит к противоречию с условием параллельности плоскостей β и β.

Ход рассуждений.

Пусть даны две параллельные плоскости β и β (β∥β) и точка A∉β. Пусть l — произвольная прямая, такая что A∉l и l∥β. Допустим, что прямая l не лежит в плоскости β. Так как точка A принадлежит обеим плоскостям (по условию A∉β, а по допущению мы рассматриваем ситуацию вне β), то прямая l пересекает плоскость β или проходит сквозь неё, не совпадая с ней полностью. Однако более строгий подход: рассмотрим плоскость β′, проходящую через прямую l и какую-либо точку B из плоскости β (если l не параллельна β, она может пересекать её). Но проще использовать свойство единственности параллельной плоскости.

Воспользуемся следующим фактом: если через точку A, лежащую в плоскости β, проведена прямая l, параллельная плоскости β, то эта прямая должна лежать в плоскости β. Докажем это от противного. Предположим, что lnsubseteqβ. Тогда прямая l и точка A определяют плоскость β′. Поскольку l∥β, то либо l пересекает β, либо l скрещивается с β. Но так как A∉β и A∉l, то l не может пересекать β в точке A. Если бы l пересекала β в некоторой точке K, то K∉β и K∉l. Но тогда прямая l имеет общую точку с плоскостью β, значит, она не параллельна ей. Противоречие. Значит, l не пересекает β. Если l не пересекает β и не лежит в β, то l параллельна β. Это согласуется с условием. Но нам нужно доказать, что она лежит в β.

Рассмотрим плоскость β, проходящую через прямую l и точку A (так как A∉l, такая плоскость определена однозначно). Так как l∥β, то плоскость β также параллельна плоскости β? Нет, это неверно. Вернемся к классическому доказательству.

Пусть l — прямая, проходящая через A∉β и параллельная β. Предположим, что l не лежит в β. Тогда через точку A проходят две различные плоскости: данная β и плоскость β′, содержащая l. Так как l∥β, то угол между l и β равен нулю (параллельность). Рассмотрим проекцию прямой l на плоскость β вдоль направления, перпендикулярного β. Или проще: пусть M — любая точка на l. Расстояние от M до β постоянно и равно расстоянию от A до β (так как l∥β). Но A∉β, значит расстояние от A до β равно 0. Следовательно, расстояние от любой точки M∉l до β равно 0. Это означает, что все точки прямой l лежат в плоскости β. То есть lnsubseteqβ.

Проверка и вывод.

Мы показали, что если прямая l параллельна плоскости β и проходит через точку A, принадлежащую плоскости β, то расстояние от любой точки этой прямой до плоскости β равно нулю. Единственная геометрическая фигура, все точки которой имеют нулевое расстояние до данной плоскости и которая является прямой, — это сама прямая, лежащая в этой плоскости. Таким образом, предположение о том, что прямая не лежит в плоскости β, привело к тому, что она всё равно должна в ней лежать. Утверждение доказано.