ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 58: Свойства параллельных плоскостей

План доказательства.

Для доказательства утверждения воспользуемся методом от противного. Предположим, что плоскость β не пересекает плоскость β. Так как две плоскости в пространстве либо параллельны, либо пересекаются, то из предположения следует, что β∥β. Далее проанализируем взаимное расположение плоскостей β, β и β и придем к противоречию с условием задачи (β∥β).

Ход доказательства.

Дано: β∥β, β∩β=l (плоскость β пересекает β по прямой l).
Доказать: β∩β
neq
emptyset (плоскость β пересекает β).

Предположим обратное: пусть плоскость β не пересекает плоскость β. Тогда, согласно определению параллельных плоскостей, имеем β∥β.

Рассмотрим прямую l, которая является линией пересечения плоскостей β и β. Поскольку l
subsetβ и β∥β, то прямая l не имеет общих точек с плоскостью β, то есть l∥β.

Теперь применим признак параллельности двух плоскостей. У нас есть плоскость β, содержащая прямую l, и плоскость β. Мы знаем, что β∥β (по условию) и l∥β (как показано выше). Однако для вывода о параллельности плоскостей β и β недостаточно одной прямой. Воспользуемся другим подходом через аксиому параллельности.

Более строгий путь: так как β∥β, то любая прямая, лежащая в β, параллельна плоскости β. В частности, прямая l
subsetβ параллельна β. Но мы также знаем, что β проходит через l. Если бы β∥β, то через точку на прямой l можно было бы провести единственную плоскость, параллельную β. Этой плоскостью была бы сама β. Значит, если β∥β, то β должна совпадать с β или быть параллельной ей. Но β пересекает β (так как содержит l, а l лежит в β), значит, они не могут быть параллельны и не могут совпадать (так как β∥β). Возникает противоречие.

Давайте оформим это чище через свойство транзитивности или признак:

1. Пусть β∥β.
2. Так как β пересекает β, то существует точка A
   inβ
   capβ.
3. Если допустить, что β не пересекает β, то β∥β.
4. По теореме о параллельных плоскостях: если одна из двух параллельных плоскостей пересекает третью, то и вторая пересекает эту третью. Это доказываемое утверждение. Докажем его через противоречие с признаком параллельности.
5. Возьмем в плоскости β две пересекающиеся прямые a и b, проходящие через точку A.
6. Прямая a лежит в β. Так как β∥β, то a не может лежать в β. Если a параллельна β, то... нет, проще:

Используем классическое доказательство методом от противного:

Предположим, что β∥β (не пересекается, значит параллельна).
Так как β∥β и β∥β, то по транзитивности отношения параллельности плоскостей (если две плоскости параллельны третьей, то они параллельны друг другу) следует, что β∥β.
Но по условию β пересекает β. Противоречие.
Следовательно, предположение неверно, и β пересекает β.

Проверка и вывод.

Логика верна: отношение параллельности плоскостей обладает свойством транзитивности. Если β∥β и β∥β, то β∥β. Поскольку дано, что β и β имеют общую точку (пересекаются), они не могут быть параллельны. Значит, допущение о том, что β∥β, ложно. Следовательно, β и β должны пересекаться.