10–11 классы Свойства параллельных плоскостей § 11. Свойства параллельных плоскостей

ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 54: Свойства параллельных плоскостей

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.

Дмитрий Орлов, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 53 55 →

Условие

Точка B вне плоскости треугольника ADC. Точки M, N и P — середины отрезков BA, BC и BD соответственно.

а) Докажите, что плоскости MNP и ADC параллельны.

б) Найдите площадь треугольника MNP, если площадь треугольника ADC равна 48 см².

Треугольник

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План решения:

Для пункта а) воспользуемся признаком параллельности двух плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Используем свойство средней линии треугольника для установления параллельности сторон треугольников MNP и ADC.
Для пункта б) применим теорему о подобии треугольников. Треугольник MNP подобен треугольнику ADC с коэффициентом подобия k=1/2. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.

Решение:

а) Рассмотрим треугольник ABC. Точки M и N являются серединами сторон AB и BC соответственно. Следовательно, отрезок MN является средней линией треугольника ABC. По свойству средней линии, MN∥AC. Так как прямая AC лежит в плоскости ADC, а прямая MN не лежит в этой плоскости (так как точка B вне плоскости ADC), то по признаку параллельности прямой и плоскости, MN∥(ADC).

Аналогично рассмотрим треугольник BCD. Точки N и P — середины сторон BC и BD. Значит, NP — средняя линия треугольника BCD, поэтому NP∥CD. Прямая CD лежит в плоскости ADC, следовательно, NP∥(ADC).

Теперь рассмотрим треугольник ABD. Точки M и P — середины сторон AB и BD. Значит, MP — средняя линия треугольника ABD, поэтому MP∥AD. Прямая AD лежит в плоскости ADC, следовательно, MP∥(ADC).

Мы получили, что три прямые MN, NP и MP, лежащие в плоскости MNP, параллельны плоскости ADC. Достаточно того, чтобы две пересекающиеся прямые одной плоскости были параллельны другой плоскости. Например, прямые MN и NP пересекаются в точке N и обе параллельны плоскости ADC. Следовательно, по признаку параллельности плоскостей, плоскость MNP параллельна плоскости ADC.

б) Из доказательства пункта а) следует, что стороны треугольника MNP параллельны соответствующим сторонам треугольника ADC: MN∥AC, NP∥CD, MP∥AD. Кроме того, так как MN, NP и MP являются средними линиями соответствующих треугольников (ABC, BCD, ABD), их длины равны половине длин соответствующих сторон треугольника ADC:

MN=1/2AC, NP=1/2CD, MP=1/2AD

Следовательно, треугольники MNP и ADC подобны с коэффициентом подобия k=1/2.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

S_MNP/S_ADC=k²=(1/2)²=1/4

По условию S_ADC=48 см². Найдем площадь треугольника MNP:

S_MNP=1/4·S_ADC=1/4·48=12 см²

Проверка:

Логика рассуждений верна: свойства средних линий гарантируют параллельность сторон и отношение длин 1:2. Теорема о площадях подобных фигур применена корректно. Вычисление 48/4=12 верно.

Ответ

а) Доказано

б) 12 см²

Задача стандартная на применение свойств средних линий треугольника в пространстве и признак параллельности плоскостей. Для части б) важно подчеркнуть, что треугольник MNP не просто имеет параллельные стороны, но и является уменьшенной копией ADC с линейным масштабом 0.5.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 54 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 54?

Краткий ответ: а) Доказано; б) 12 см².

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 11. Свойства параллельных плоскостей.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.