ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 53: Свойства параллельных плоскостей

План доказательства.

Для того чтобы доказать параллельность двух плоскостей, достаточно показать, что две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. В нашем случае мы будем рассматривать треугольники A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂. Если мы докажем, что стороны этих треугольников попарно параллельны (A₁B₁∥A₂B₂, B₁C₁∥B₂C₂ и т.д.), то из этого следует параллельность самих плоскостей.

Вычисление и логический вывод.

Пусть точка O — общая середина отрезков A₁A₂, B₁B₂ и C₁C₂. Это означает, что:

• A₁O=OA₂;
• B₁O=OB₂;
• C₁O=OC₂.

Рассмотрим четырехугольник A₁B₁A₂B₂. Его диагонали A₁A₂ и B₁B₂ пересекаются в точке O и делятся ею пополам. По признаку параллелограмма, если диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник является параллелограммом. Следовательно, A₁B₁A₂B₂ — параллелограмм.

Из свойств параллелограмма следует, что его противоположные стороны параллельны. Значит, A₁B₁∥A₂B₂.

Аналогично рассмотрим четырехугольник B₁C₁B₂C₂. Его диагонали B₁B₂ и C₁C₂ также пересекаются в точке O и делятся ею пополам. Следовательно, B₁C₁B₂C₂ — параллелограмм, и поэтому B₁C₁∥B₂C₂.

Таким образом, в плоскости A₁B₁C₁ лежат две пересекающиеся прямые A₁B₁ и B₁C₁, которые соответственно параллельны двум пересекающимся прямым A₂B₂ и B₂C₂, лежащим в плоскости A₂B₂C₂.

Проверка и заключение.

Согласно теореме о параллельности плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Мы доказали, что A₁B₁∥A₂B₂ и B₁C₁∥B₂C₂. Прямые A₁B₁ и B₁C₁ пересекаются в точке B₁, а прямые A₂B₂ и B₂C₂ пересекаются в точке B₂. Условие задачи гарантирует, что точки не лежат в одной плоскости, поэтому построенные плоскости различны и не совпадают.

Следовательно, плоскость A₁B₁C₁ параллельна плоскости A₂B₂C₂. Что и требовалось доказать.