ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 50: Свойства параллельных плоскостей

План доказательства.

Для того чтобы доказать параллельность прямой и плоскости, необходимо воспользоваться признаком параллельности прямой и плоскости. Согласно этому признаку, если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости. Также можно использовать определение параллельных плоскостей: две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек. Из этого следует, что любая прямая, лежащая в одной из параллельных плоскостей, не может иметь общих точек с другой плоскостью.

Ход решения.

1. По условию задачи дано, что плоскость α параллельна плоскости β (α∥β).
2. Прямая t лежит в плоскости α (t⊂α).
3. Так как плоскости α и β параллельны, они не пересекаются, то есть множество общих точек этих плоскостей пусто: α∩β=∅.
4. Поскольку все точки прямой t принадлежат плоскости α, а плоскость α не имеет общих точек с плоскостью β, то и прямая t не имеет общих точек с плоскостью β.
5. Если прямая и плоскость не имеют общих точек, то по определению они параллельны. Следовательно, t∥β.

Проверка и вывод.

Рассмотрим альтернативный путь через признак параллельности прямой и плоскости. Возьмем произвольную прямую m в плоскости β. Так как α∥β, то любая прямая в α (в том числе t) либо параллельна любой прямой в β, либо скрещивается с ней. Однако более строгое доказательство опирается на отсутствие пересечения. Прямая t не может пересекать плоскость β, так как это означало бы наличие общей точки у t и β, а значит, и у α и β, что противоречит условию α∥β. Таким образом, утверждение доказано корректно.