ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 47: Векторы в пространстве

План решения.

Для доказательства равенства углов между скрещивающимися прямыми и третьей прямой удобно использовать метод параллельного переноса. Нам нужно найти угол между прямой AB и средней линией треугольника (или четырёхугольника), а также угол между прямой CD и той же линией. Введём обозначения для середин сторон: пусть M — середина отрезка BC, а N — середина отрезка AD. Прямая MN является искомой. Чтобы связать стороны AB и CD с точками M и N, введём вспомогательную точку K — середину диагонали AC (или BD, на выбор, возьмём AC).

Вычисление и доказательство.

Рассмотрим треугольник ABC. Точки M и K являются серединами сторон BC и AC соответственно. По теореме о средней линии треугольника, отрезок MK параллелен стороне AB и равен её половине: MK∥AB, MK=1/2AB Теперь рассмотрим треугольник ADC. Точки N и K являются серединами сторон AD и AC соответственно. По той же теореме, отрезок NK параллелен стороне CD и равен её половине: NK∥CD, NK=1/2CD По условию задачи стороны пространственного четырёхугольника равны: AB=CD. Следовательно, их половины также равны: MK=NK Это означает, что треугольник MKN является равнобедренным с основанием MN.

Угол между прямой AB и прямой MN равен углу между параллельной ей прямой MK и прямой MN. Обозначим этот угол как ∠KMN. Угол между прямой CD и прямой MN равен углу между параллельной ей прямой NK и прямой MN. Обозначим этот угол как ∠KNM. В равнобедренном треугольнике MKN (MK=NK) углы при основании равны: ∠KMN=∠KNM Таким образом, прямые AB и CD образуют равные углы с прямой MN, проходящей через середины отрезков BC и AD.

Проверка.

Логика построения верна: мы свели задачу об углах между скрещивающимися прямыми к задаче об углах в плоском треугольнике MKN. Ключевой момент — использование свойства средних линий треугольников, построенных на диагоналях пространственного четырёхугольника. Равенство исходных сторон AB=CD гарантировало равнобедренность вспомогательного треугольника, что и привело к равенству искомых углов. Ошибок в рассуждениях нет.