ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 43: Векторы в пространстве

План решения.

Для доказательства того, что середины сторон пространственного четырёхугольника образуют параллелограмм, воспользуемся свойством средней линии треугольника. Проведём одну из диагоналей пространственного четырёхугольника. Эта диагональ разделит четырёхугольник на два треугольника. Середины смежных сторон этих треугольников будут являться серединами соответствующих сторон исходного четырёхугольника. Применим теорему о средней линии к каждому из двух полученных треугольников.

Вычисление и доказательство.

Пусть дан пространственный четырёхугольник ABCD. Обозначим середины его сторон как точки M, N, P и K, где M — середина AB, N — середина BC, P — середина CD, а K — середина DA. Нам нужно доказать, что четырёхугольник MNPK является параллелограммом.

Проведём диагональ AC. Рассмотрим треугольник ABC. Отрезок MN соединяет середины сторон AB и BC, следовательно, MN является средней линией треугольника ABC. По свойству средней линии:

Теперь рассмотрим треугольник ADC. Отрезок KP соединяет середины сторон AD и DC, следовательно, KP является средней линией треугольника ADC. Аналогично получаем:

Из двух последних соотношений следует, что отрезки MN и KP параллельны между собой (так как оба параллельны AC) и равны по длине (так как оба равны половине AC). То есть:

Если в четырёхугольнике одна пара противоположных сторон параллельна и равна, то этот четырёхугольник является параллелограммом. Следовательно, MNPK — параллелограмм.

Проверка.

Можно провести аналогичное рассуждение для второй диагонали BD. Средняя линия NP треугольника BCD параллельна BD и равна 1/2BD, а средняя линия MK треугольника ABD параллельна BD и равна 1/2BD. Значит, NP∥MK и NP=MK. Наличие двух пар параллельных и равных противоположных сторон подтверждает, что фигура действительно является параллелограммом. Доказательство верно для любого пространственного четырёхугольника, так как мы опирались только на свойства плоских треугольников, образованных диагоналями.