ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 40: Объём шара и площадь сферы

План решения.

Так как окружность построена на стороне AC как на диаметре, то любой угол, опирающийся на этот диаметр, является прямым. Это означает, что если точка лежит на окружности и соединена с концами диаметра A и C, то треугольник с вершинами в этих точках прямоугольный. Нам дано, что окружность проходит через середину стороны BC (обозначим её M) и пересекает продолжение AB за точку A в точке D. Следовательно, углы ∠AMC и ∠ADC равны 90^°. Используя свойства прямоугольных треугольников и подобие, выразим стороны треугольника ABC через заданную сторону AC=1 и отношение AD=2/3AB, после чего найдем площадь.

Вычисление.

Рассмотрим треугольник ABC. Пусть M — середина стороны BC. Так как M лежит на окружности с диаметром AC, то AM⊥BC. В треугольнике ABC отрезок AM является одновременно медианой (так как M — середина BC) и высотой (так как AM⊥BC). Треугольник, в котором медиана совпадает с высотой, является равнобедренным. Значит, AB=AC. По условию AC=1, следовательно, AB=1.

Теперь воспользуемся информацией о точке D. Точка D лежит на продолжении стороны AB за точку A, причём AD=2/3AB. Поскольку AB=1, то AD=2/3. Так как D лежит на окружности с диаметром AC, то ∠ADC=90^°. Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC. Катет AC=1, катет AD=2/3. По теореме Пифагора найдем второй катет CD: CD=AC²-AD²=1²-(2/3)²=1-4/9=5/9=5/3

Вернемся к треугольнику ABC. Мы установили, что он равнобедренный (AB=AC=1). Чтобы найти его площадь, нам нужно знать высоту, проведенную к основанию BC, или угол при вершине A. Давайте найдем косинус угла BAC. В прямоугольном треугольнике ADC угол DAC смежный с углом BAC? Нет, точки D,A,B лежат на одной прямой, причем A находится между D и B (так как D на продолжении AB за точку A ). Значит, угол DAC и угол BAC являются смежными, то есть их сумма равна 180^°. Из треугольника ADC: cos(∠DAC)=AD/AC=2/3/1=2/3. Тогда cos(∠BAC)=cos(180^°-∠DAC)=-cos(∠DAC)=-2/3. Найдем синус угла BAC: sin(∠BAC)=1-cos²(∠BAC)=1-(-2/3)²=1-4/9=5/9=5/3.

Площадь треугольника ABC можно вычислить по формуле: S_ABC=1/2AB·AC·sin(∠BAC). Подставим значения: AB=1, AC=1, sin(∠BAC)=5/3. S_ABC=1/2·1·1·5/3=5/6

Проверка.

Проверим логическую цепочку. Если AB=AC, то проекция вершины A на основание BC попадает в середину M. Угол AMC=90^°, значит M лежит на окружности с диаметром AC. Это согласуется с условием. Далее, точка D определяется пересечением этой же окружности с прямой AB. В прямоугольном треугольнике ADC гипотенуза AC=1, катет AD=2/3. Это возможно, так как 2/3<1. Расположение точек D-A-B корректно для тупого угла при A (так как косинус отрицательный). Вычисления площади через синус угла вершины равнобедренного треугольника стандартны и не содержат ошибок. Результат положительный и имеет размерность площади.