ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 38: Объём шара и площадь сферы

План решения:

• Для пункта а) нужно доказать, что прямые a и CD лежат в одной плоскости и не параллельны. Если две прямые в одной плоскости не параллельны, они пересекаются.
• Для пункта б) нужно использовать определение скрещивающихся прямых: прямые не лежат в одной плоскости. Докажем это от противного или через свойства плоскостей.

Решение пункта а):

Рассмотрим плоскость ромба ABCD. В ней диагонали AC и BD пересекаются в точке O. По условию прямая a проходит через вершину A и параллельна диагонали BD (a∥BD).

Докажем, что прямые a и CD лежат в одной плоскости. Прямая a проходит через точку A, а прямая CD проходит через точки C и D. Рассмотрим плоскость, проходящую через прямую a и точку C. Так как a∥BD, то угол между прямой a и стороной AD равен углу между BD и AD (как соответственные при параллельных прямых и секущей, если продолжить линии). Однако более простой путь: предположим, что a∥CD. Тогда, так как a∥BD, по транзитивности параллельности прямых в пространстве было бы верно, что BD∥CD. Но BD и CD — это диагональ и сторона ромба, которые пересекаются в точке D. Противоречие. Значит, a не параллельна CD.

Теперь докажем компланарность. Прямая a лежит в плоскости, проходящей через A и параллельной BD. Прямая CD лежит в той же плоскости ромба? Нет, a не обязательно в плоскости ромба, но обычно в таких задачах подразумевается, что a проведена в плоскости ромба, либо мы рассматриваем проекцию. Уточним условие: "Через вершину A... проведена прямая a". Если a не ограничена плоскостью ромба, она может быть любой. Но стандартная трактовка школьной геометрии для такой формулировки без указания "вне плоскости" подразумевает, что a лежит в плоскости ромба ABCD, так как параллельность диагонали BD естественна именно внутри этой плоскости. Если a лежит в плоскости ABCD, то и CD лежит в этой же плоскости. Две прямые в одной плоскости либо параллельны, либо пересекаются. Мы доказали выше, что a не параллельна CD (так как a∥BD, а BD пересекает CD). Следовательно, прямые a и CD пересекаются .

Решение пункта б):

Нужно доказать, что прямые a и b скрещиваются. Это значит, что они не лежат в одной плоскости.

По условию прямая b проходит через вершину C и не лежит в плоскости ромба . Прямая a лежит в плоскости ромба (как установлено в пункте а), так как она параллельна диагонали BD, лежащей в этой плоскости, и проходит через точку A этой плоскости.

Предположим обратное: пусть прямые a и b лежат в одной плоскости β. Тогда эта плоскость β содержит прямую a и точку C (так как C∈b). Через прямую a и точку C можно провести единственную плоскость. Поскольку a лежит в плоскости ромба ABCD и точка C также лежит в плоскости ромба ABCD, то единственной плоскостью, содержащей a и C, является сама плоскость ромба ABCD.

Если бы прямые a и b были компланарны, то прямая b должна была бы лежать в плоскости ABCD. Но по условию задачи прямая b не лежит в плоскости ромба . Получили противоречие.

Следовательно, предположение неверно, и прямые a и b не лежат в одной плоскости. Также они не могут пересекаться (иначе точка пересечения принадлежала бы обеим прямым, а значит, и плоскости ромба для a, и внеплоскостной b, что возможно только если b входит в плоскость в этой точке, но тогда часть b вне плоскости ломает компланарность с a в общем случае, точнее: если бы они пересекались, то через них можно было бы провести плоскость, которая содержала бы a и точку пересечения на b. Так как a в плоскости ромба, то и точка пересечения в плоскости ромба. Тогда b имеет общую точку с плоскостью ромба. Но этого недостаточно для вывода о скрещивании. Главный аргумент: anotbotb и не параллельны. Параллельны ли? Если a∥b, то b параллельна плоскости ромба (так как a в ней). Но b проходит через точку C плоскости ромба. Если прямая параллельна плоскости и имеет с ней общую точку, то она лежит в этой плоскости. Противоречие с условием. Значит, a и b не параллельны. Не пересекаются? Если бы пересекались, то лежали бы в одной плоскости (см. выше вывод про единственность плоскости через a и C). Так как они не лежат в одной плоскости, то они не пересекаются и не параллельны.

Таким образом, a и b — скрещивающиеся прямые .