ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 39: Объём шара и площадь сферы

План доказательства.

Для доказательства того, что прямые AD и BC являются скрещивающимися, воспользуемся методом от противного. Предположим обратное: пусть прямые AD и BC не являются скрещивающимися. Это означает, что они либо параллельны, либо пересекаются. В обоих случаях эти две прямые лежат в одной плоскости. Покажем, что это предположение приводит к противоречию с условием задачи (что AB и CD — скрещивающиеся).

Ход рассуждений.

1. Допустим, что прямые AD и BC лежат в некоторой плоскости β. Поскольку точки A и D принадлежат прямой AD, а точки B и C принадлежат прямой BC, то все четыре точки A,B,C,D лежат в этой плоскости β. 2. Если точки A,B,C,D лежат в одной плоскости β, то любая прямая, проходящая через две из этих точек, также полностью лежит в плоскости β. 3. Рассмотрим прямую AB. Она проходит через точки A и B, следовательно, она лежит в плоскости β. 4. Рассмотрим прямую CD. Она проходит через точки C и D, следовательно, она также лежит в плоскости β. 5. Таким образом, мы получили, что прямые AB и CD лежат в одной плоскости β. По определению, если две прямые лежат в одной плоскости, они либо параллельны, либо пересекаются. Но по условию задачи прямые AB и CD являются скрещивающимися, то есть они не лежат ни в какой общей плоскости. 6. Полученное противоречие (AB и CD одновременно лежат в одной плоскости и не лежат в одной плоскости) доказывает, что наше первоначальное предположение было неверным.

Вывод.

Следовательно, прямые AD и BC не могут лежать в одной плоскости. Значит, они являются скрещивающимися прямыми. Что и требовалось доказать.