ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 36: Задачи для подготовки к ЕГЭ

План решения.

В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам. Нам нужно найти скалярное произведение векторов AO и BO. Поскольку эти векторы лежат на взаимно перпендикулярных прямых (диагоналях ромба), угол между ними равен 90^°. Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, если они перпендикулярны. Однако давайте проверим это через координатный метод или определение, чтобы убедиться в отсутствии подвоха с направлением векторов.

Вычисление.

Пусть точка O — начало координат (0;0). Так как диагонали ромба равны 12 и 16, то их половины равны:

• AO=12/2=6;
• BO=16/2=8.

Расположим диагонали вдоль осей координат. Пусть диагональ AC лежит на оси Ox, а диагональ BD — на оси Oy. Тогда координаты концов векторов относительно начала O будут следующими:

Вектор AO направлен от точки A к точке O. Если предположить, что A имеет координаты (6;0), то AO=O-A=(-6;0). Или проще: длина проекции одного вектора на другой.

Используем геометрическое определение скалярного произведения: a·b=|a|·|b|·cos(α) где α — угол между векторами.

Вектор AO лежит на прямой одной диагонали, а вектор BO — на прямой другой диагонали. В ромбе диагонали перпендикулярны, значит угол между прямыми, содержащими эти векторы, равен 90^°. Следовательно, угол между самими векторами AO и BO также равен 90^° (или 270^°, косинус которого тоже 0).

Подставим значения: AO·BO=6·8·cos(90^°)=48·0=0

Проверка.

Давайте представим задачу в координатах для полной уверенности. Пусть O(0;0). Точки вершин ромба могут иметь координаты: A(6;0), C(-6;0), B(0;8), D(0;-8). Тогда вектор AO имеет координаты конца минус координаты начала? Нет, вектор AO начинается в A и заканчивается в O. Координаты вектора AO=(0-6;0-0)=(-6;0). Вектор BO начинается в B и заканчивается в O. Координаты вектора BO=(0-0;0-8)=(0;-8). Скалярное произведение вычисляется как сумма произведений соответствующих координат: AO·BO=x₁x₂+y₁y₂=(-6)·0+0·(-8)=0+0=0 Результат подтверждается. Ответ не зависит от того, какая диагональ длиннее, так как перпендикулярность сохраняется.