ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 45: Векторы в пространстве

План решения:

1. Доказать, что прямые a и CD являются скрещивающимися, используя определение скрещивающихся прямых и свойства параллелограмма.
2. Найти угол между скрещивающимися прямыми a и CD, заменив одну из них на параллельную ей прямую, лежащую в той же плоскости или пересекающуюся с другой прямой.
3. Вычислить искомый угол для случаев а) и б), учитывая свойства углов параллелограмма.

Ход доказательства и вычисления:

1. Доказательство скрещивания.

По условию, прямая a∥BC. Предположим, что прямые a и CD не являются скрещивающимися. Тогда они либо параллельны, либо пересекаются.

• Если бы a∥CD, то так как BC∥AD (противоположные стороны параллелограмма), это не противоречило бы сразу, но рассмотрим положение точек. Прямая a не лежит в плоскости ABCD. Если a∥CD, то через параллельные прямые a и CD можно провести плоскость β. Так как Cβ и Dβ, то вся прямая CDβ. Также aβ. Но тогда точка B (лежащая на прямой BC, которая параллельна a) и точка A должны рассматриваться внимательнее. Более простой путь: если две прямые лежат в одной плоскости, они компланарны. Допустим, a и CD компланарны. Пусть эта плоскость β. В плоскости β лежат прямые a и CD. Так как a∥BC, то прямая BC также должна быть связана с этой конфигурацией. Однако, по теореме о признаке скрещивающихся прямых: если одна из двух прямых лежит в данной плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещиваются. Здесь ситуация немного иная: a вообще не лежит в плоскости ABCD.
• Используем классическое доказательство от противного. Если a и CD пересекаются, то точка пересечения принадлежит обеим прямым. Точка пересечения принадлежит CD, значит, она лежит в плоскости ABCD. Следовательно, прямая a имеет общую точку с плоскостью ABCD. Но по условию a∥BC, а BC лежит в плоскости ABCD. Если прямая параллельна прямой, лежащей в плоскости, и сама не лежит в этой плоскости, то она параллельна всей плоскости. Значит, a не может иметь общих точек с плоскостью ABCD. Противоречие. Следовательно, a и CD не пересекаются.
• Если a∥CD, то так как a∥BC, то по транзитивности параллельности BC∥CD. Но BC и CD — смежные стороны параллелограмма, они пересекаются в точке C. Две различные прямые не могут быть одновременно параллельными и пересекающимися. Противоречие. Следовательно, a не параллельна CD.

Так как прямые a и CD не пересекаются и не параллельны, они являются скрещивающимися .

2. Нахождение угла между прямыми.

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между двумя пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся прямым.

Дано: a∥BC. Нам нужно найти угол между a и CD.

Заменим прямую a на параллельную ей прямую BC. Теперь задача сводится к нахождению угла между прямыми BC и CD. Эти прямые лежат в плоскости параллелограмма ABCD и пересекаются в вершине C.

Следовательно, угол между скрещивающимися прямыми a и CD равен углу между сторонами параллелограмма BC и CD, то есть одному из углов параллелограмма при вершине C (∠BCD).

Вспомним свойства углов параллелограмма:

• Противолежащие углы равны.
• Сумма соседних углов равна 180^°.
• Угол между прямыми всегда берется острым или прямым (от 0^° до 90^°). Если найденный геометрический угол тупой, то углом между прямыми считается смежный с ним острый угол.

Рассмотрим пункт а):

Один из углов параллелограмма равен 50^°. Это острый угол. Соседний с ним угол равен 180^°-50^°=130^° (тупой).

Угол между сторонами BC и CD может быть равен либо 50^°, либо 130^° в зависимости от того, какой именно угол дан в условии (острый или тупой при вершине C). Однако, поскольку мы ищем угол между прямыми , его величина не зависит от выбора конкретного угла параллелограмма, если мы правильно применим правило «угол между прямыми — наименьший из углов». Но давайте уточним формулировку задачи. Обычно под «углом параллелограмма» подразумевается конкретный внутренний угол. Угол между прямыми BC и CD — это угол ∠BCD или смежный ему. Величина угла между прямыми определяется как минимальный угол из пары вертикальных/смежных углов при пересечении. Если один угол параллелограмма 50^°, то другие углы: 50^°,130^°,130^°. Угол между прямыми BC и CD равен меньшему из углов при их пересечении. Пересечение сторон BC и CD образует углы 50^° и 130^° (если ∠C=50^°) или 130^° и 50^° (если ∠C=130^°). В любом случае, острый угол между этими прямыми равен 50^°. Ответ для а): 50^°.

Рассмотрим пункт б):

Один из углов параллелограмма равен 121^°. Это тупой угол. Тогда соседний с ним угол равен 180^°-121^°=59^°. Углы параллелограмма: 121^°,59^°,121^°,59^°. Прямые BC и CD пересекаются под углами 121^° и 59^°. По определению, угол между прямыми — это острый (или прямой) угол между ними. Следовательно, угол между прямыми a и CD равен 59^°. Ответ для б): 59^°.

Проверка:

Логика замены скрещивающейся прямой a на параллельную ей BC корректна, так как угол между скрещивающимися прямыми сохраняется при параллельном переносе одной из них. Вычисление углов опирается на стандартное определение угла между прямыми (не более 90^°). Для пункта а) острый угол параллелограмма совпадает с углом между прямыми. Для пункта б) тупой угол параллелограмма дополняется до 180^° для получения острого угла между прямыми.