ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 46: Векторы в пространстве
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Роман Жуков, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Прямая m параллельна диагонали BD ромба ABCD и не лежит в плоскости ромба. Докажите, что
а) m и AC — скрещивающиеся прямые, и найдите угол между ними
б) m и AD — скрещивающиеся прямые, и найдите угол между ними, если угол ABC равен 128°.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
- Вспомним свойства диагоналей ромба: они взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами углов.
- Используем определение угла между скрещивающимися прямыми: угол равен углу между параллельными им пересекающимися прямыми.
- Для пункта а) найдем угол между m и AC, используя параллельность m∥BD и перпендикулярность BD⊥AC.
- Для пункта б) найдем угол между m и AD, заменив прямую m на параллельную ей BD, и вычислим угол △ABD или смежный с ним.
Решение пункта а)
По условию прямая m параллельна диагонали BD (m∥BD). В ромбе ABCD диагонали AC и BD пересекаются под прямым углом, то есть AC⊥BD. Поскольку m∥BD, то угол между прямой m и прямой AC равен углу между прямой BD и прямой AC. Этот угол составляет 90°.
Так как прямая m не лежит в плоскости ромба, а прямая AC лежит в этой плоскости, и они не параллельны (так как угол между ними 90°), то эти прямые не могут пересекаться. Следовательно, m и AC — скрещивающиеся прямые.
Ответ для а): Доказано, что прямые скрещивающиеся; угол между ними равен 90°.
Решение пункта б)
Нам нужно найти угол между скрещивающимися прямыми m и AD. Так как m∥BD, угол между m и AD равен углу между BD и AD. Рассмотрим треугольник ABD или просто угол при вершине D в ромбе.
Диагональ BD является биссектрисой угла ABC. По условию △ABC=128° (имеется в виду угол ABC ромба). Тогда угол △ABD=1/2△ABC=128°/2=64°.
Однако нам нужен угол между прямой BD и прямой AD. В ромбе соседние углы в сумме дают 180°, поэтому △BAD=180°-128°=52°. Треугольник ABD равнобедренный (AB=AD), но проще рассмотреть угол △ADB. Диагональ BD делит угол ADC пополам. Угол ADC=△ABC=128° (противолежащие углы ромба равны). Значит, угол △ADB=128°/2=64°.
Проверим через другой угол. Угол △DAB=180°-128°=52°. В △ABD сумма углов 180°. Углы при основании AB и AD? Нет, AB=AD, значит углы при основании BD равны. △ABD=△ADB=(180°-52°)/2=128°/2=64°. Таким образом, острый угол между прямыми BD и AD равен 64°.
Следовательно, угол между скрещивающимися прямыми m и AD равен 64°.
Ответ для б): Доказано, что прямые скрещивающиеся; угол между ними равен 64°.
а) 90°
б) 64°
В пункте а) используется свойство перпендикулярности диагоналей ромба. В пункте б) угол между скрещивающимися прямыми сводится к углу между диагональю и стороной. Так как диагональ BD является биссектрисой угла ADC (который равен углу ABC = 128 градусов), то угол между BD и AD равен половине угла ADC, то есть 64 градуса.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 46 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 46?
Краткий ответ: а) 90^ ; б) 64^.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 2. Векторы в пространстве.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.