ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 51: Свойства параллельных плоскостей
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Кирилл Панов, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Требуется доказать, что две плоскости (α и β) параллельны, если в одной из них есть две пересекающиеся прямые (m и n), которые параллельны другой плоскости.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План доказательства.
Для того чтобы доказать параллельность двух плоскостей α и β, воспользуемся признаком параллельности плоскостей. Нам дано, что в плоскости α лежат две пересекающиеся прямые m и n. По условию задачи каждая из этих прямых параллельна плоскости β. Наша задача — показать, что это условие является достаточным для того, чтобы сама плоскость α была параллельна плоскости β.
Ход доказательства.
Предположим обратное: пусть плоскости α и β не параллельны. Тогда они должны пересекаться по некоторой прямой l (α∩β=l).
Рассмотрим прямую m. По условию m∥β. Так как прямая m лежит в плоскости α (m⊂α) и параллельна плоскости β, то по свойству параллельности прямой и плоскости она должна быть параллельна линии пересечения этих плоскостей, если такая линия существует. Следовательно, m∥l.
Аналогично рассмотрим прямую n. Она также лежит в плоскости α (n⊂α) и параллельна плоскости β (n∥β). Значит, и она должна быть параллельна той же самой линии пересечения l, то есть n∥l.
Итак, мы получили, что m∥l и n∥l. Согласно аксиоме о параллельных прямых (если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой), следует, что m∥n.
Однако это противоречит условию задачи, которое гласит, что прямые m и n пересекаются . Прямые не могут одновременно быть параллельными и пересекающимися.
Вывод.
Поскольку предположение о том, что плоскости α и β пересекаются, привело к противоречию, значит, это предположение неверно. Следовательно, плоскости α и β не имеют общих точек, то есть они параллельны.
Что и требовалось доказать: α∥β.
Доказано методом от противного: если бы плоскости пересекались, то две пересекающиеся прямые одной плоскости оказались бы параллельными друг другу, что невозможно.
Стандартное доказательство признака параллельности плоскостей через метод от противного. Ключевое свойство: если прямая, лежащая в одной плоскости, параллельна другой плоскости, а эти плоскости пересекаются, то данная прямая параллельна линии пересечения.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 51 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 51?
Краткий ответ: Доказано методом от противного: если бы плоскости пересекались, то две пересекающиеся прямые одной плоскости оказались бы параллельными друг другу, что невозможно.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 11. Свойства параллельных плоскостей.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.