ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 61: Объём шара и площадь сферы

План доказательства:

• Существует единственная плоскость, проходящая через две пересекающиеся прямые a и b. Обозначим её β.
• По условию точка A не лежит в плоскости β.
• Используем признак параллельности прямой и плоскости для построения искомой плоскости β′.
• Докажем единственность такой плоскости.

Вычисление и обоснование:

1. Так как прямые a и b пересекаются, они определяют единственную плоскость β. Точка A∉β.
2. Проведём через точку A прямую a₁, параллельную прямой a (a₁∥a). Это возможно сделать единственным образом (аксиома параллельных прямых).
3. Проведём через точку A прямую b₁, параллельную прямой b (b₁∥b). Также это делается единственным образом.
4. Прямые a₁ и b₁ пересекаются в точке A, следовательно, они определяют единственную плоскость β′.
5. Рассмотрим параллельность: так как a₁∥a и a₁notлежит в β, а a лежит в β, то по признаку параллельности прямой и плоскости имеем a∥β′. Аналогично, так как b₁∥b, то b∥β′.
6. Таким образом, плоскость β′ проходит через точку A и параллельна обеим прямым a и b. Существование доказано.

Доказательство единственности:

• Предположим, что существует другая плоскость β′′, проходящая через точку A и параллельная прямым a и b.
• Если β′′≠β′, то эти две различные плоскости пересекаются по некоторой прямой l, проходящей через точку A.
• Так как β′′∥a и β′∥a, то прямая a параллельна линии пересечения этих плоскостей? Нет, здесь проще рассуждать через проекцию или направление.
• Более строгий путь: Любая плоскость, параллельная двум непараллельным прямым a и b, должна быть параллельна плоскости β, содержащей эти прямые. Если бы существовали две различные плоскости β′ и β′′, проходящие через одну точку A и параллельные одной и той же плоскости β, то они совпали бы (так как через точку вне плоскости проходит только одна плоскость, параллельная данной).
• Следовательно, такая плоскость единственна.