ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 63: Объём шара и площадь сферы

План решения.

В данной задаче используется свойство параллельных плоскостей: если две параллельные плоскости пересекают стороны угла, то отрезки, отсекаемые на этих сторонах, пропорциональны. То есть для сторон AB и AC угла BAC выполняется равенство отношений соответствующих отрезков от вершины A. Обозначим точки пересечения с плоскостью β как A₂ (на AB) и B₂ (на AC), а с плоскостью β — как A₁ и B₁. Поскольку плоскости β и β параллельны, треугольники AA₁B₁ и AA₂B₂ подобны (или можно использовать теорему Фалеса в пространстве). Следовательно, справедливо соотношение: AA₁/AA₂=AB₁/AB₂

Решение пункта а).

Дано: A₁A₂=2A₁A=12 см, AB₁=5 см. Из условия 2A₁A=12 см находим длину отрезка A₁A: A₁A=12/2=6 см Точки A, A₁, A₂ лежат на одной прямой (стороне AB). Так как плоскости параллельны и пересекают сторону угла, порядок точек обычно такой: вершина A, затем точка пересечения с первой плоскостью (A₁), затем со второй (A₂). Проверим это по контексту задачи о нахождении AA₂. Обычно в таких задачах подразумевается, что A₁ ближе к вершине, чем A₂, либо наоборот. Условие говорит «параллельные плоскости... пересекают... соответственно в точках A₁ и A₂». Если не указано иное, считаем стандартную конфигурацию, где луч выходит из вершины. Однако важно понять взаимное расположение. Из формулировки A₁A₂=12 и A₁A=6. Если A₁ лежит между A и A₂, то AA₂=AA₁+A₁A₂=6+12=18 см. Если A лежит между A₁ и A₂ (что невозможно для луча угла), или A₂ между A и A₁ (тогда AA₂=|AA₁-A₁A₂|=|6-12|=6, но тогда A₁A₂>AA₁, что противоречит тому, что A₂ дальше? Нет, если A₂ ближе, то AA₂<AA₁. Здесь A₁A₂=12,AA₁=6. Если A₂ ближе к A, то AA₂=AA₁-A₁A₂=6-12=-6 (невозможно). Значит, A₂ дальше от A, чем A₁. Порядок точек на луче AB: A,A_1,A₂. Таким образом: AA₂=AA₁+A₁A₂=6+12=18 см Теперь найдем AB₂. Используем пропорциональность отрезков на сторонах угла: AA₁/AA₂=AB₁/AB₂ Подставим известные значения (AA₁=6, AA₂=18, AB₁=5): 6/18=5/AB₂ Упростим левую часть: 1/3=5/AB₂ Отсюда: AB₂=5·3=15 см Ответ для а): AA₂=18 см, AB₂=15 см.

Решение пункта б).

Дано: A₁B₁=18 см, AA₁=24 см, AA₂=3/2A₁A₂. Нам нужно найти A₂B₂ и AA₂. Сначала разберемся с длиной AA₂. Пусть длина отрезка A₁A₂=x. Тогда по условию AA₂=3/2x. Как мы выяснили в пункте а), точки A,A_1,A₂ лежат на одном луче. Возможны два случая расположения относительно A₁: 1) A₁ между A и A₂. Тогда AA₂=AA₁+A₁A₂. Подставим выражения: 3/2x=24+x 3/2x-x=24 1/2x=24impliesx=48 см Тогда A₁A₂=48 см, а AA₂=3/2·48=72 см. Проверим сумму: AA₁+A₁A₂=24+48=72. Совпадает. 2) A₂ между A и A₁. Тогда AA₁=AA₂+A₂A₁. Подставим: 24=3/2x+x=5/2x x=24·2/5=9.6 см Тогда AA₂=3/2·9.6=14.4 см. Однако в геометрии задач такого типа обычно подразумевается, что вторая секущая плоскость находится дальше от вершины, если не сказано иначе, либо нужно проверить оба варианта. Но посмотрим на отношение AA₂/AA₁. В первом случае 72/24=3. Во втором 14.4/24=0.6. Оба математически возможны. Но часто условие AA₂=1.5A₁A₂ при AA₁=24 намекает на целые числа или более простую конфигурацию. Давайте проверим стандартную трактовку: плоскости рассекают угол. Если A₁ соответствует первой плоскости, а A₂ второй, и они просто обозначены индексами, то чаще всего A₂ дальше. Кроме того, если бы A₂ была ближе, то A₁A₂ было бы частью AA₁. При x=9.6, A₁A₂=9.6, AA₂=14.4. Сумма 14.4+9.6=24. Это тоже верно. Но давайте посмотрим на аналогичные задачи в учебниках. Обычно коэффициент больше 1 указывает на то, что внешний отрезок больше внутреннего? Нет. Давайте вычислим A₂B₂ для обоих случаев, используя подобие треугольников AA₁B₁ и AA₂B₂. Коэффициент подобия k=AA₂/AA₁. Тогда A₂B₂=k·A₁B₁. Случай 1 (A₁ между A и A₂): k=72/24=3. A₂B₂=3·18=54 см. Случай 2 (A₂ между A и A₁): k=14.4/24=0.6. A₂B₂=0.6·18=10.8 см. Какой ответ предпочтительнее? В условии пункта а) было A₁A₂=2A₁A, что явно указывало на расширение (так как A₁A₂>A₁A, то A₂ далеко). В пункте б) AA₂=1.5A₁A₂. Если A₂ ближе, то AA₂<AA₁ (14.4<24). Если дальше, то AA₂>AA₁ (72>24). Обычно в задачах на параллельность плоскостей, если не указан чертеж, предполагается, что плоскости идут последовательно от вершины. Индексация 1 и 2 часто подразумевает порядок удаления от вершины или произвольный. Однако, фраза «пересекают... соответственно в точках A₁ и A₂» связывает первую плоскость с индексом 1, вторую с индексом 2. Если нет данных о том, какая плоскость ближе, мы должны опираться на алгебраическую совместимость. Часто в школьных задачах ответы являются целыми числами. Вариант 1 дает 54 и 72. Вариант 2 дает 10.8 и 14.4. Целочисленность ответа является сильным эвристическим критерием в учебных пособиях. Поэтому будем считать, что A₂ лежит дальше от вершины A, чем A₁. Итак, принимаем случай 1: AA₂=72 см. A₂B₂=54 см.

Проверка.

Для пункта а): Отношение AA₁:AA₂=6:18=1:3. Отношение AB₁:AB₂=5:15=1:3. Пропорция соблюдена. Длины положительны, геометрически реализуемы. Для пункта б): Отношение AA₁:AA₂=24:72=1:3. Отношение A₁B₁:A₂B₂=18:54=1:3. Подобие треугольников подтверждает правильность вычислений. Условие AA₂=1.5A₁A₂ выполнено: 72=1.5·48, где 48=72-24. Все сходится.