ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 67: Параллельность прямых и плоскостей
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Алексей Широков, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
В тетраэдре DABC дано: ∠ADB=54°, ∠BDC=72°, ∠CDA=90°, DA=20 см, BD=18 см, DC=21 см. Найдите
а) рёбра основания ABC данного тетраэдра
б) площади всех боковых граней.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения задачи воспользуемся теоремой косинусов для нахождения длин сторон треугольников и формулой площади треугольника через две стороны и синус угла между ними. В тетраэдре DABC вершина D является общей для трёх боковых граней: ADB, BDC и CDA. Основание — треугольник ABC.
а) Найдём рёбра основания ABC (AB, BC, AC).
- Рассмотрим грань ADB. Нам известны DA=20 см, BD=18 см и ∠ADB=54°. По теореме косинусов: AB2=DA2+BD2-2·DA·BD·cos(∠ADB) Подставим значения: AB2=202+182-2·20·18·cos(54°) AB2=400+324-720·cos(54°) Значение cos(54°)≈0.5878. Тогда: AB2≈724-720·0.5878≈724-423.2=300.8 AB≈300.8≈17.34 см
- Рассмотрим грань BDC. Известны BD=18 см, DC=21 см и ∠BDC=72°. По теореме косинусов: BC2=BD2+DC2-2·BD·DC·cos(∠BDC) BC2=182+212-2·18·21·cos(72°) BC2=324+441-756·cos(72°) Значение cos(72°)≈0.3090. Тогда: BC2≈765-756·0.3090≈765-233.6=531.4 BC≈531.4≈23.05 см
- Рассмотрим грань CDA. Известны DC=21 см, DA=20 см и ∠CDA=90°. Так как угол прямой, треугольник прямоугольный, применим теорему Пифагора (частный случай теоремы косинусов): AC2=DA2+DC2 AC2=202+212=400+441=841 AC=841=29 см
б) Найдём площади всех боковых граней.
Площадь треугольника вычисляется по формуле S=1/2absin(C).
- Площадь грани SADB: SADB=1/2·DA·BD·sin(∠ADB) SADB=1/2·20·18·sin(54°)=180·sin(54°) Значение sin(54°)≈0.8090. SADB≈180·0.8090≈145.62 см²
- Площадь грани SBDC: SBDC=1/2·BD·DC·sin(∠BDC) SBDC=1/2·18·21·sin(72°)=189·sin(72°) Значение sin(72°)≈0.9511. SBDC≈189·0.9511≈179.76 см²
- Площадь грани SCDA: Так как ∠CDA=90°, то sin(90°)=1. Треугольник прямоугольный, катеты равны DA и DC. SCDA=1/2·DA·DC=1/2·20·21=210 см²
Проверка: Полученные значения положительны и соответствуют геометрическому смыслу. Сторона AC=29 см получена точно из-за прямого угла. Остальные величины являются приближёнными из-за тригонометрических функций углов 54° и 72°.
а) AB ≈ 17.34 см, BC ≈ 23.05 см, AC=29 см
б) S_ADB ≈ 145.62 см², S_BDC ≈ 179.76 см², SCDA=210 см²
Задача решается стандартными методами планиметрии в пространстве. Для пункта а) применяется теорема косинусов для двух граней и теорема Пифагора для третьей (где угол 90 градусов). Для пункта б) используется формула площади треугольника через две стороны и синус угла между ними. Числовые значения округлены до сотых.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 67 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 67?
Краткий ответ: а) AB ≈ 17.34 см, BC ≈ 23.05 см, AC = 29 см; б) S_ADB ≈ 145.62 см², S_BDC ≈ 179.76 см², S_CDA = 210 см².
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Параллельность прямых и плоскостей.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.