ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 66: Параллельность прямых и плоскостей

План решения.

Для начала вспомним определение скрещивающихся прямых: это две прямые, которые не лежат в одной плоскости. В тетраэдре ABCD всего 6 рёбер. Каждое ребро соединяет две вершины и лежит на определённой прямой. Нам нужно найти все пары таких рёбер, которые не имеют общих точек (не пересекаются) и не параллельны (в тетраэдре параллельных рёбер нет), то есть являются скрещивающимися.

Вычисление и перебор пар.

Рассмотрим каждое ребро по очереди и найдём для него «партнёров», с которыми оно скрещивается:

• Ребро AB. Оно имеет общие точки с рёбрами AC, AD, BC, BD. Единственное ребро, не имеющее с ним общих вершин — это CD. Значит, пара (AB,CD) — скрещивающиеся рёбра.
• Ребро AC. Общие вершины с AB, AD, CB, CD. Не имеет общих вершин только с ребром BD. Значит, пара (AC,BD) — скрещивающиеся рёбра.
• Ребро AD. Общие вершины с AB, AC, DB, DC. Не имеет общих вершин только с ребром BC. Значит, пара (AD,BC) — скрещивающиеся рёбра.

Дальнейший перебор рёбер BC, BD, CD приведёт к тем же самым парам, так как мы уже учли их в предыдущих пунктах (например, пара (BC,AD) уже посчитана как (AD,BC)).

Проверка и итог.

Всего мы нашли три уникальные пары скрещивающихся рёбер: AB и CD, AC и BD, AD и BC. Это соответствует геометрической структуре тетраэдра: у любого тетраэдра ровно 3 пары скрещивающихся противоположных рёбер.