ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 27: Объём шара и площадь сферы

План решения.

1. Рассмотрим плоскость, проходящую через параллельные прямые AB и CD. Так как точка C лежит на отрезке AB, то прямая AB содержит точки A,B,C. Прямая AD также лежит в этой плоскости. 2. Плоскость α проходит через точку B и параллельна прямой CD. Пересечение плоскости α с нашей построенной плоскостью даст некоторую прямую, проходящую через B. Обозначим эту линию пересечения за l. 3. Докажем, что прямая AD пересекает плоскость α. Поскольку CD∥α, а AD не параллельна CD (так как они пересекаются в точке D), то AD должна пересекать линию пересечения l в некоторой точке E. Точка E будет лежать одновременно на AD и на α. 4. Используем подобие треугольников для нахождения длины BE.

Вычисление.

По условию AB:BC=4:3. Пусть длина BC=3x, тогда AB=4x. Так как точка C лежит на отрезке AB, то AC=AB-BC=4x-3x=x. Таким образом, AC:CB=1:3, или AC:AB=1:4.

Рассмотрим треугольник ADC и прямую BE. Так как CD∥α и BE⊂α, то BE∥CD (по свойству линии пересечения двух плоскостей, одна из которых параллельна прямой, лежащей в другой). В треугольнике ADC прямая BE параллельна основанию CD и пересекает стороны AC и AD? Нет, давайте внимательно посмотрим на расположение точек.

Точки A,C,B лежат на одной прямой в таком порядке: A-C-B. Отрезок CD исходит из C. Мы рассматриваем плоскость ADB (или ADC, так как B на AC). В этой плоскости у нас есть угол при вершине A? Нет, лучше рассмотреть подобие относительно точки пересечения прямых AD и BC (которая является точкой A).

Прямые AD и BC пересекаются в точке A. Прямая CD соединяет точки C и D. Прямая BE проходит через B и параллельна CD. Треугольники △ACD и △ABE подобны по двум углам (∠A общий, ∠ACD=∠ABE как соответственные при параллельных CD и BE).

Коэффициент подобия равен отношению сторон AB к AC. Из условия AB:BC=4:3 следует, что если BC=3k, то AB=4k. Тогда AC=AB-BC=4k-3k=k. Следовательно, AB:AC=4k:k=4:1.

Так как △ABE∼△ACD, то отношение соответствующих сторон равно коэффициенту подобия: BE/CD=AB/AC Подставим известные значения: BE/12=4/1 Отсюда находим BE: BE=12·4=48 см .

Проверка.

Логика доказательства пересечения: прямая AD лежит в плоскости ACD. Плоскость α проходит через B и параллельна CD. Линия пересечения плоскости ACD и α — это прямая, проходящая через B и параллельная CD (так как CD∥α). Эта линия пересекает AD в точке E, так как AD не параллельна CD (они имеют общую точку D, но A не лежит на CD). Подобие треугольников подтверждает вычисления. Ответ положительный и имеет физический смысл.