ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 30: Объём шара и площадь сферы

План решения.

Для доказательства пункта а) воспользуемся признаком параллельности прямой и плоскости или свойством пересечения плоскостей. Так как AB∥α, то через прямую AB можно провести плоскость, пересекающую β (плоскость трапеции) по прямой AB. Однако более простой путь — рассмотреть плоскость трапеции ABCD и плоскость β. Если одна сторона трапеции параллельна плоскости, а вершина лежит в ней, нужно аккуратно определить взаимное расположение остальных элементов. В пункте б) используем определение средней линии и признак параллельности прямой и плоскости.

Решение пункта а).

Дано: трапеция ABCD с основаниями AB и CD (AB∥CD). Плоскость трапеции обозначим β. Известно, что AB∥β_{заданная} (обозначим заданную плоскость как β для удобства, но в условии она β, а трапеция в своей плоскости, пусть будет τ). Уточним обозначения из условия: плоскость β, основание AB∥β, вершина C∈β. Так как ABCD — трапеция, то её стороны лежат в одной плоскости, назовём её τ. Прямая AB лежит в плоскости τ. По условию AB∥β. Также известно, что точка C принадлежит плоскости β и лежит в плоскости τ (так как C — вершина трапеции). Рассмотрим пересечение плоскостей τ и β. Так как у них есть общая точка C, они пересекаются по некоторой прямой l, проходящей через C. По теореме о пересечении двух плоскостей третьей: если прямая AB параллельна плоскости β и лежит в плоскости τ, которая пересекает β по прямой l, то AB∥l. В трапеции ABCD основание CD параллельно основанию AB (CD∥AB). Итак, мы имеем: l∥AB и CD∥AB. При этом прямые l и CD проходят через одну и ту же точку C (так как C∈l по построению пересечения, и C∈CD как вершина трапеции). По аксиоме параллельных прямых, через точку C можно провести только одну прямую, параллельную AB. Следовательно, прямая l совпадает с прямой CD. Так как прямая l является линией пересечения плоскостей τ и β, то все точки прямой l принадлежат плоскости β. Значит, все точки прямой CD принадлежат плоскости β. Это означает, что отрезок CD лежит в плоскости β.

Решение пункта б).

Пусть M и N — середины боковых сторон AD и BC соответственно. Отрезок MN — средняя линия трапеции ABCD. По свойству средней линии трапеции, MN∥AB и MN∥CD. Из пункта а) мы доказали, что прямая CD лежит в плоскости β (CD⊂β). Так как MN∥CD и CD⊂β, а сама прямая MN не лежит в плоскости β (так как M и N — середины сторон, лежащих вне плоскости β, кроме случая вырождения, который здесь исключен геометрией трапеции с основанием в плоскости), то по признаку параллельности прямой и плоскости, прямая MN параллельна плоскости β. Более строго: так как AB∥β и MN∥AB, то MN∥β (если прямая параллельна другой прямой, которая параллельна плоскости, то первая также параллельна плоскости, при условии, что она не лежит в ней). Проверим, лежит ли MN в β. Точка B не лежит в β (иначе вся трапеция была бы в β, что противоречило бы AB∥β без совпадения, либо это частный случай, но обычно подразумевается, что трапеция «поднята» над плоскостью одним основанием). Если бы MN лежала в β, то и AB должна была бы быть в β или пересекать её, что неверно. Следовательно, MN не лежит в β.

Проверка.

Логика опирается на фундаментальные теоремы стереометрии: связь между параллельностью прямой и плоскости и пересечением плоскостей. Пункт а) корректно использует единственность параллельной прямой. Пункт б) следует из транзитивности параллельности и признака параллельности прямой и плоскости.