ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 28: Объём шара и площадь сферы

План решения.

Для нахождения длины отрезка BC воспользуемся свойствами параллельности прямой и плоскости. Так как плоскость α проходит через прямую BC и параллельна прямой DE, то любая плоскость, содержащая DE и пересекающая α, будет пересекать α по прямой, параллельной DE. В качестве такой секущей плоскости возьмём плоскость треугольника ABC. Линией пересечения этих двух плоскостей является прямая BC. Следовательно, из условия параллельности следует, что DE∥BC.

Вычисление.

Так как DE∥BC, то треугольник ADE подобен треугольнику ABC по двум углам (угол A общий, а соответственные углы при параллельных прямых равны). Коэффициент подобия k равен отношению соответствующих сторон: k=AD/AB

По условию дано отношение BD/DA=2/3. Обозначим длину DA=3x, тогда длина BD=2x. Длина всей стороны AB равна сумме длин отрезков AD и DB: AB=AD+DB=3x+2x=5x

Теперь найдём коэффициент подобия: AD/AB=3x/5x=3/5

Из подобия треугольников следует пропорциональность всех соответствующих сторон, в том числе и оснований DE и BC: DE/BC=AD/AB=3/5

Подставим известное значение DE=5 см и выразим BC: 5/BC=3/5implies3·BC=5·5implies3·BC=25impliesBC=25/3

Переведём неправильную дробь в смешанное число или десятичную дробь для удобства: BC=81/3 см ≈8,33 см

Проверка.

Если BC=25/3, то отношение DE/BC=5/25/3=5·3/25=15/25=3/5. Это совпадает с отношением боковых сторон AD/AB=3/5. Условие параллельности прямой DE плоскости α выполнено корректно, так как DE лежит в плоскости ABC и не имеет общих точек с плоскостью α (кроме случаев пересечения, но здесь они параллельны), а проекция на направление BC сохраняет пропорции. Ответ верен.