ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 29: Объём шара и площадь сферы

План решения:

1. Докажем существование точки пересечения H плоскости ADK и отрезка MC, используя свойства параллельности прямых и плоскостей. 2. Рассмотрим вспомогательную плоскость, проходящую через параллельные прямые BC и AD (плоскость трапеции) и плоскость BMC. 3. Используем теорему о средней линии треугольника или подобие для нахождения длины отрезка KH.

Доказательство пересечения:

Так как ABCD — трапеция, то основания BC и AD параллельны (BC∥AD). Прямая AD лежит в плоскости ADK. Следовательно, прямая BC параллельна плоскости ADK (так как она параллельна прямой, лежащей в этой плоскости, и не лежит в ней). Рассмотрим плоскость BMC. В ней лежат точки B,M,C. Точка K лежит на отрезке BM, значит, точка K принадлежит плоскости BMC. Также точка C принадлежит плоскости BMC. Таким образом, прямая KC лежит в плоскости BMC. Однако нам нужно рассмотреть пересечение с отрезком MC. Давайте построим плоскость BCM. Она пересекает плоскость ADK по некоторой прямой. Так как BC∥AD, а AD⊂(ADK), то линия пересечения плоскостей (BCM) и (ADK) должна быть параллельна BC и AD. Проведем через точку K прямую, параллельную BC. Пусть эта прямая пересекает отрезок MC в точке H. Тогда KH∥BC. Поскольку BC∥AD, то KH∥AD. Значит, прямая KH лежит в плоскости, определяемой параллельными прямыми AD и KH. Но так как K уже лежит в плоскости ADK, а H лежит на прямой KH, проходящей через K параллельно AD, то вся прямая KH лежит в плоскости ADK? Нет, это неверно. Плоскость ADK содержит точку K и прямую AD. Если мы проведем через K прямую параллельную AD, она будет лежать в плоскости ADK. Обозначим эту прямую l. l∥AD∥BC. Прямая l лежит в плоскости BMC (так как проходит через K∈BM и параллельна BC). Значит, точка пересечения l и MC существует. Назовем её H. Так как H лежит на прямой l, которая содержится в плоскости ADK, то точка H принадлежит плоскости ADK. Одновременно H лежит на отрезке MC. Следовательно, плоскость ADK пересекает отрезок MC в точке H.

Вычисление отрезка KH:

Рассмотрим треугольник MBC. Точка K — середина стороны BM (по условию). Прямая KH параллельна основанию BC (так как KH∥AD и AD∥BC). По теореме Фалеса (или свойству средней линии), если прямая проходит через середину одной стороны треугольника и параллельна другой стороне, то она пересекает третью сторону в её середине. Следовательно, H — середина отрезка MC. Значит, отрезок KH является средней линией треугольника MBC. Свойство средней линии: она равна половине основания, которому параллельна. KH=1/2BC По условию BC=12 см. KH=1/2·12=6 см .

Проверка:

Логика верна: параллельность оснований трапеции гарантирует параллельность линии пересечения плоскостей. Середина K однозначно определяет положение средней линии в треугольнике MBC. Длина вычислена корректно.