ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 31: Объём шара и площадь сферы

План решения:

• Найдём длину гипотенузы BC и установим свойства треугольников ABD и ACD.
• Определим радиусы вписанных окружностей для каждого из этих треугольников.
• Используем координатный метод или геометрические соотношения для нахождения расстояния между центрами вписанных окружностей.

Вычисление:

1. В прямоугольном треугольнике ABC катеты AB=4, AC=3. По теореме Пифагора найдём гипотенузу BC:

BC=AB²+AC²=4²+3²=16+9=25=5

2. Точка D — середина гипотенузы BC. Медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, поэтому:

AD=BD=CD=BC/2=2.5

3. Рассмотрим треугольник ABD. Его стороны: AB=4, BD=2.5, AD=2.5. Это равнобедренный треугольник с основанием AB. Найдём его площадь. Высота h₁, опущенная на основание AB, делит его пополам. Половина основания равна 2. Тогда высота:

h₁=AD²-(AB/2)²=2.5²-2²=6.25-4=2.25=1.5 Площадь треугольника ABD:

S_ABD=1/2·AB·h₁=1/2·4·1.5=3 Полупериметр p₁ треугольника ABD:

p₁=AB+BD+AD/2=4+2.5+2.5/2=9/2=4.5 Радиус вписанной окружности r₁:

r₁=S_ABD/p₁=3/4.5=30/45=2/3

4. Рассмотрим треугольник ACD. Его стороны: AC=3, CD=2.5, AD=2.5. Это равнобедренный треугольник с основанием AC. Найдём его площадь. Высота h₂, опущенная на основание AC, делит его пополам. Половина основания равна 1.5. Тогда высота:

h₂=AD²-(AC/2)²=2.5²-1.5²=6.25-2.25=4=2 Площадь треугольника ACD:

S_ACD=1/2·AC·h₂=1/2·3·2=3 (Заметим, что площади равны, так как медиана делит треугольник на два равновеликих).

Полупериметр p₂ треугольника ACD:

p₂=AC+CD+AD/2=3+2.5+2.5/2=8/2=4 Радиус вписанной окружности r₂:

r₂=S_ACD/p₂=3/4=0.75

5. Для нахождения расстояния между центрами впишем окружностей удобно использовать систему координат. Пусть A(0;0), C(3;0), B(0;4). Тогда точка D имеет координаты середины отрезка BC: D(0+3/2;4+0/2)=D(1.5;2).

Центр вписанной окружности I₁ треугольника ABD. Координаты центра вписанной окружности можно найти через формулу барицентрических координат или разложив векторы. Однако проще заметить симметрию или вычислить напрямую.
Для треугольника ABD вершины A(0;0), B(0;4), D(1.5;2). Стороны против вершин: a′=BD=2.5, b′=AD=2.5, c′=AB=4.
Координаты x_I1:

x_I1=a′x_A+b′x_B+c′x_D/a′+b′+c′=2.5·0+2.5·0+4·1.5/2.5+2.5+4=6/9=2/3 Координаты y_I1:

y_I1=a′y_A+b′y_B+c′y_D/a′+b′+c′=2.5·0+2.5·4+4·2/9=10+8/9=18/9=2 Таким образом, I₁(2/3;2).

Для треугольника ACD вершины A(0;0), C(3;0), D(1.5;2). Стороны против вершин: a′′=CD=2.5, b′′=AD=2.5, c′′=AC=3.
Координаты x_I2:

x_I2=a′′x_A+b′′x_C+c′′x_D/a′′+b′′+c′′=2.5·0+2.5·3+3·1.5/2.5+2.5+3=7.5+4.5/8=12/8=1.5 Координаты y_I2:

y_I2=a′′y_A+b′′y_C+c′′y_D/a′′+b′′+c′′=2.5·0+2.5·0+3·2/8=6/8=0.75=3/4 Таким образом, I₂(1.5;0.75).

6. Найдём расстояние d между точками I₁(2/3;2) и I₂(3/2;3/4):

d=(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)² Разность абсцисс:

Δx=3/2-2/3=9-4/6=5/6 Разность ординат:

Δy=3/4-2=3-8/4=-5/4 Квадрат расстояния:

d²=(5/6)²+(-5/4)²=25/36+25/16 Общий знаменатель 144:

d²=25·4/144+25·9/144=100+225/144=325/144 Расстояние:

d=325/144=25·13/12=513/12

Проверка:

Логика построения верна. Радиусы рассчитаны правильно (r₁=2/3, r₂=3/4). Координаты центров получены корректно. Арифметические действия при возведении в квадрат и сложении дробей проверены. Результат 513/12 является точным значением.