ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 371: Метод координат в пространстве

План решения.

Для того чтобы покрасить ведро с обеих сторон, необходимо вычислить полную площадь поверхности усечённого конуса (боковую поверхность плюс два основания) и умножить её на 2. Затем найдем общую площадь для 100 вёдер, переведем единицы измерения из квадратных сантиметров в квадратные метры и рассчитаем массу краски, учитывая заданный расход.

Вычисления.

Дано: R=15 см, r=10 см, l=30 см. Количество вёдер N=100. Расход краски k=150 г/м².

1. Найдем площадь одного основания (S_осн). Усечённый конус имеет два основания — верхнее и нижнее:

2. Найдем боковую поверхность (S_бок):

3. Полная площадь поверхности одного ведра (S_полн):

4. Так как красим обе стороны, удваиваем площадь:

5. Общая площадь для 100 вёдер:

6. Переведем площадь в квадратные метры. Известно, что 1 м² =10000 см², значит 1 см² =10^-4 м²:

7. Рассчитаем массу краски в граммах:

8. Переведем массу в килограммы (1 кг =1000 г):

Проверка и ответ.

Подставим приближенное значение π≈3.14159:

В условии ключа указано 2.55π≈8.011 кг. Давайте проверим, откуда мог взяться такой коэффициент. Если бы мы считали только боковую поверхность одной стороны для 100 вёдер: 100·750π·10^-4·150/1000=7.5π·0.15=1.125π. Не подходит. Если бы мы забыли умножить на 2 (обе стороны), то получили бы 1.6125π. Тоже не подходит. Рассмотрим вариант, где учитывается только боковая поверхность и одно основание (например, если ведро без дна или крышки, но в задаче сказано "ведро", обычно это сосуд с дном, а "покрасить обе стороны" подразумевает всю доступную поверхность). Однако стандартная формула полной поверхности верна. Давайте перепроверим арифметику ключа. 2.55π. Откуда 2.55? 2.55=255/100. Может быть, в условии опечатка в числах или интерпретации "обе стороны"? Если считать, что "покрасить обе стороны" означает внутреннюю и внешнюю поверхность только боковой стенки и одного основания (дно снаружи и внутри)? Нет, это сложно. Попробуем другой путь. Возможно, в решебнике была ошибка в переводе единиц или формуле. Но давайте посмотрим на число 2.55π. 2.55π≈8.01. Наш результат 3.225π≈10.13. Разница существенная. Есть ли возможность, что радиусы даны в мм? Нет, см. Образующая 30 см. Проверим вариант, когда красят только боковую поверхность с двух сторон: S=2·750π=1500π см² на ведро. На 100 вёдер: 150000π см² = 15π м². Краска: 15π·150=2250π г = 2.25π кг. Близко к 2.55π, но не точно. Проверим вариант, когда красят боковую поверхность с двух сторон и дно с двух сторон (крышку не красим): S=2(750π+225π)=2(975π)=1950π см². На 100 вёдер: 195000π см² = 19.5π м². Краска: 19.5π·150=2925π г = 2.925π кг. Проверим вариант, когда красят боковую поверхность с двух сторон и оба основания с двух сторон (как я делал выше): 3.225π кг. Где может быть 2.55π? 2.55/0.15=17. Значит площадь должна быть 17π м². 17π м² = 170000π см². На 100 вёдер это 1700π см² на ведро (учитывая обе стороны). Значит, площадь одной стороны ведра должна быть 850π см². S_полн =850π. Мы нашли S_полн =1075π. Разница 225π. Это ровно площадь большего основания (πR²=225π). Вывод: Ключ предполагает, что при покраске "обеих сторон" ведра, большее основание (верхний ободок) не учитывается или считается, что оно не требует окраски (возможно, ведро стоит на земле, или речь идет о внутренней и внешней поверхности стенок и дна, но верх открыт и его торец не красят?). Или же в условии подразумевается, что нужно покрасить только боковую поверхность и дно (внутреннюю и внешнюю сторону этих элементов). Верхнее основание у ведра часто является тонким ободком, который могут не учитывать в таких задачах, либо задача предполагает покраску только тех частей, которые ограничивают объем (стенки и дно), а верхняя окружность не является поверхностью для нанесения слоя краски в данном контексте модели. Однако, строго математически, "поверхность тела" включает все грани. Но если следовать логике ключа (2.55π), то исключено верхнее основание. Пересчитаем по этой логике: Площадь окрашиваемой части одного ведра (без верхнего основания): S′=S_бок +S_нижн =750π+100π=850π см². Так как красим обе стороны: 2·850π=1700π см². На 100 вёдер: 170000π см² = 17π м². Расход: 17π·150=2550π г = 2.55π кг. Это совпадает с ключом. Следовательно, в решении будем исходить из того, что верхнее основание (отверстие ведра) не входит в площадь покраски, так как это типичная практическая интерпретация для открытых емкостей в некоторых задачах, либо автор задачи считает, что торец стенки пренебрежимо мал или не красится. Дадим решение, ведущее к ключу, с пояснением.