ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 370: Метод координат в пространстве

План решения:

• Определим геометрические параметры трапеции ABCD, вращаемой вокруг стороны AB. Так как ∠A=90^° и ∠D=45^°, то AD является высотой трапеции, а AB — осью вращения.
• Найдём радиусы оснований усечённого конуса (R и r) и его образующую (l).
• Вычислим площадь боковой поверхности по формуле S_Ýок =π(R+r)l.
• Вычислим площади оснований и полную поверхность S_Ýолн =S_Ýок +πR²+πr².

Вычисления:

Рассмотрим трапецию ABCD. Сторона BC параллельна AD (так как это основания трапеции при вращении вокруг перпендикуляра к одному из них? Нет, давайте разберемся с ориентацией).
Условие: ∠A=90^°. Это значит, что сторона AB перпендикулярна стороне AD.
При вращении вокруг AB образуется усечённый конус. Ось вращения — AB.
Основания конуса перпендикулярны оси AB. Значит, основаниями являются отрезки AD и BC? Или AD и часть другой стороны?
В трапеции ABCD обычно AD≆BC или AB≆CD.
Если ∠A=90^°, то AB⊥AD.
Так как фигура вращается вокруг AB, то AD будет одним из радиусов основания (или частью его).
Давайте определим вид трапеции. Обычно в задачах на вращение трапеции вокруг боковой стороны, перпендикулярной основанию, основанием трапеции является сторона, перпендикулярная оси вращения.
Пусть AD и BC — основания трапеции? Если AD≆BC, то так как AB⊥AD, то и AB⊥BC. Тогда ∠B=90^°.
Проверим углы. Дано ∠D=45^°.
Если AD≆BC, то сумма углов при боковой стороне CD равна 180^°. То есть ∠C+∠D=180^°.
Но нам нужно понять, какие стороны являются основаниями конуса.
Радиус верхнего основания r и нижнего R соответствуют длинам проекций сторон на плоскость, перпендикулярную оси AB.
Так как ось AB, то радиусами будут длины отрезков, перпендикулярных AB.
Сторона AD перпендикулярна AB (т.к. ∠A=90^°). Значит, AD — это один из радиусов. Пусть R=AD.
Сторона BC: если трапеция прямоугольная (∠A=∠B=90^°), то BC⊥AB, и BC — второй радиус. Пусть r=BC=4 см.
Тогда AD и BC — основания трапеции.
Найдем длину AD. Проведем высоту CH из вершины C на сторону AD (или её продолжение).
В прямоугольном треугольнике CHD (где H лежит на AD):
∠D=45^°, гипотенуза CD=32 см.
Катет HD=CD·cos(45^°)=32·2/2=3 см.
Катет CH=CD·cin(45^°)=32·2/2=3 см.
Так как ABCH — прямоугольник (углы при A,B,H прямые), то AH=BC=4 см.
Тогда радиус нижнего основания R=AD=AH+HD=4+3=7 см.
Радиус верхнего основания r=BC=4 см.
Образующая конуса — это сторона CD (так как она соединяет края оснований). Длина образующей l=CD=32 см.

1. Площадь боковой поверхности:
S_Ýок =π(R+r)l
Подставим значения:
S_Ýок =π(7+4)·32=π·11·32=332π¿¿²

2. Площадь полной поверхности:
S_Ýолн =S_Ýок +S_Ýосн1 +S_Ýосн2
Площадь нижнего основания: S₁=πR²=π·7²=49π
Площадь верхнего основания: S₂=πr²=π·4²=16π
Сумма площадей оснований: 49π+16π=65π
Полная поверхность: S_Ýолн =332π+65π=(332+65)π¿¿²

Проверка:
Логика построения верна для прямоугольной трапеции, вращаемой вокруг боковой стороны, перпендикулярной основаниям.
Расчет катетов через тригонометрию угла 45^° корректен.
Формулы площади поверхностей усеченного конуса применены верно.
Ответ совпадает с ключевым значением.