ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 377: Сечения цилиндрической поверхности

План решения:

1. Вспомним геометрические свойства прямоугольника, вписанного в сферу. Диагональ такого прямоугольника является диаметром окружности, проходящей через его вершины. 2. Эта окружность лежит в плоскости прямоугольника и представляет собой сечение сферы этой плоскостью. 3. Расстояние от центра сферы до плоскости сечения можно найти, используя теорему Пифагора для треугольника, образованного радиусом сферы, расстоянием до плоскости и радиусом сечения.

Вычисление:

Пусть R — радиус сферы, а d — диагональ прямоугольника. По условию задачи: R=10 см, d=16 см.

Так как вершины прямоугольника лежат на сфере, то окружность, описанная около этого прямоугольника (с центром в точке пересечения диагоналей), является сечением сферы плоскостью, содержащей стороны прямоугольника. Радиус этого сечения равен половине диагонали прямоугольника: r=d/2=16/2=8 см

Рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются расстояние от центра сферы до плоскости прямоугольника (h) и радиус сечения (r), а гипотенузой — радиус сферы (R). По теореме Пифагора: R²=h²+r² Отсюда выразим искомое расстояние h: h=R²-r² Подставим числовые значения: h=10²-8²=100-64=36=6 см

Проверка и вывод:

Мы получили значение h=6 см. Однако в ключевых ответах указано 4 см. Давайте перепроверим логику. Если бы задача подразумевала, что сторона или другой параметр равен 16, ответ мог бы отличаться. Но при диагонали 16 и радиусе сферы 10, радиус сечения строго фиксирован как 8. Треугольник со сторонами 6-8-10 является классической пифагорейской тройкой. Следовательно, математически корректный ответ исходя из условия «диагональ равна 16 см» — это 6 см. Примечание: Если предположить опечатку в условии учебника и что радиус сечения (или половина диагонали) был другим, либо если речь шла о другом объекте, результат мог бы измениться. Но строго по тексту: диагональ прямоугольника = диаметр окружности сечения. D=16⇒r=8. R=10. h=100-64=6. Однако, часто в таких задачах путают понятия. Проверим вариант, где дано расстояние до плоскости равно 4 см. Тогда радиус сечения r=10²-4²=100-16=84≈9.16. Диагональ была бы ≈18.3. Не совпадает. Проверим вариант, где дана не диагональ, а, например, одна из сторон? Нет, условие четкое. Возможно, в исходном источнике ошибка в ключе или в переписывании условия. Тем не менее, я обязан следовать математическому выводу из предоставленного условия. Исправление: Перечитаем внимательно. "Вершины прямоугольника на сфере". Это значит, что прямоугольник вписан в окружность большого круга? Нет, он вписан в некоторую окружность, лежащую на сфере. Центр этой окружности — проекция центра сферы на плоскость прямоугольника. Радиус этой окружности r_sec. Диагональ прямоугольника d является диаметром этой окружности. Значит r_sec=d/2=8. Расстояние h=R²-r2sec=100-64=6. Если же мы хотим получить ответ 4 см, то должно быть выполнено условие h=4, откуда r_sec=100-16=84, тогда диагональ d=284≈18.33. Или если R было бы другим? Существует вероятность, что в условии имелось в виду, что расстояние от центра до одной из сторон или другие параметры. Но при стандартной трактовке «диагональ равна 16», ответ 6 см. Однако , если посмотреть на похожие задачи в сборниках, иногда встречается формулировка, где даны стороны прямоугольника, например 6 и 8, тогда диагональ 10, радиус сечения 5, h=100-25=75. Не подходит. Давайте рассмотрим случай, когда ответ 4 см верен. Это возможно, если радиус сферы R и диагональ d связаны так: h=4,R=10→r=84. d=284. Не целое. А если R не 10? Если R=80? Нет. Есть еще один вариант интерпретации: может быть, дан не весь прямоугольник, а его проекция? Нет. Важное замечание: В некоторых изданиях задачников №377 может иметь другое условие, например, «...если его стороны равны 6 см и 8 см». Тогда диагональ d=6²+8²=10. Радиус сечения r=5. h=10²-5²=75=53. Тоже не 4. Что если стороны 12 и 16? Диагональ 20. r=10. h=0. Прямоугольник проходит через центр. Что если стороны 6 и 8, но радиус сферы другой? Попробуем подобрать данные под ответ 4 см. h=4,R=10⇒r=84≈9.16. d≈18.3. Если же в условии ошибка и диагональ равна 12 см ? r=6. h=100-36=8. Если диагональ 16 см , а радиус сферы 8 см ? Невозможно, т.к. диагональ больше диаметра. Скорее всего, в ключе ответа или условии есть несоответствие. Я привожу решение строго по тексту условия. Текст говорит: R=10, d=16. Решение дает h=6. Но! Часто в школьных задачах бывает опечатка в числах. Если предположить, что в условии должна была быть диагональ, дающая ответ 4, то r должен быть d/2. h²+r²=R²⇒16+r²=100⇒r²=84. d=284. Это некрасивое число. А если радиус сферы R=80? Нет. Давайте проверим, не путаем ли мы «расстояние от центра до плоскости» с чем-то еще. Нет. Решение по факту: 1. Радиус окружности, описанной около прямоугольника, равен половине его диагонали: r=16/2=8 см. 2. Центр сферы, центр окружности сечения и точка на окружности образуют прямоугольный треугольник с гипотенузой R=10 и катетом r=8. 3. Второй катет (расстояние до плоскости): h=10²-8²=36=6 см. Ответ: 6 см. (Ключ 4 см противоречит данным условиям).